４元数では乗法の交換法則は成立しない．行列でもそうである．ここでは４元数の行列表示について考えたい．

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【１】４元数の行列表示

　４元数

　　ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ

に対応する行列，

　　ａＥ2＋ｂＬ＋ｃＭ＋ｄＮ

　　ＬＭ＝Ｎ，ＭＮ＝Ｌ，ＮＬ＝Ｍ

　　ＭＬ＝−Ｎ，ＮＭ＝−Ｌ，ＬＮ＝−Ｍ

　　ＬＬ＝ＭＭ＝ＮＮ＝−Ｅ2

を具体的に求めてみよう．

Ｌ＝［ａ，ｂ］，Ｍ＝［ａ’，ｂ’］

　　［ｃ，ｄ］　　　［ｃ’，ｄ’］

において，ａ＋ｄ＝０，ａ’＋ｄ’＝０

　　　　　ａａ’＋ｂｃ’＋ｂ’ｃ＋ｄｄ’＝０

とき，ＬＭ＝−ＭＬとなる．

ａ＋ｄ＝０，ａ’＋ｄ’＝０より

Ｌ＝［ａ，　ｂ］，Ｍ＝［ａ’，ｂ’］

　　［ｃ，−ａ］　　　［ｃ’，−ａ’］

２ａａ’＋ｂｃ’＋ｂ’ｃ＝０

　　ＬＬ＝−Ｅ2

に代入すると

ＬＬ＝［ａ，　ｂ］［ａ，　ｂ］＝［ａ^2＋ｂｃ，０］＝−［１，０］

　　　［ｃ，−ａ］［ｃ，−ａ］　［０，ａ^2＋ｂｃ］　　［０，１］

より，ａ^2＋ｂｃ＝−１

同様にＭＭ＝−Ｅ2に代入すると，ａ’^2＋ｂ’ｃ’＝０

２ａａ’＋ｂｃ’＋ｂ’ｃ＝−１

ａ^2＋ｂｃ＝−１

ａ’^2＋ｂ’ｃ’＝−１

　この解は無数にありますが，１組だけわかればよいから

ａ^2＋ｂｃ＝０→ａ＝０，ｂ＝１，ｃ＝−１と決めると

２ａａ’＋ｂｃ’＋ｂ’ｃ＝−１→ｃ’−ｂ’＝０

ａ’^2＋ｂ’^2＝−１

　この解も無数にありますが，ａ’＝０，ｂ＝ｉと決めると

Ｌ＝［０，　１］，Ｍ＝［０，ｉ］

　　［−１，０］　　　［ｉ，０］

Ｎ＝ＬＭ＝［ｉ，　０］

　　　　　［０，−ｉ］

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　４元数

　　ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ

に対応する行列は，

　　ａ［１，０］＋ｂ［０，　１］＋ｃ［０，ｉ］＋ｄ［ｉ，　０］

　　　［０，１］　　［−１，０］　　［ｉ，０］　　［０，−ｉ］

＝［ａ＋ｄｉ，　ｂ＋ｃｉ］

　［−ｂ＋ｃｉ，ａ−ｄｉ］

と表現される．

　主対角線上の成分ａ＋ｄｉとａ−ｄｉは互いに共役，残りの２つの成分はひとつの符号を変えると互いに共役．

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