Σ（１／ｐ^σ）＞１／２・ｌｏｇ１／（σ−１）　　（０＜σ≦２）

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（証）オイラー積より，

　ｌｏｇζ（σ）＝−Σｌｏｇ（１−ｐ^-σ）

　ここで，０＜ｘ＜１のとき，−ｘｌｏｇ（１−ｘ）＜ｘ／（１−ｘ）

より，

　ｌｏｇζ（σ）＜Σ１／ｌｏｇ（ｐ^σ−１）＜２Σ１／ｐ^σ

　また，ζ（σ）＞１／（σ−１）より

　　Σ（１／ｐ^σ）＞１／２・ｌｏｇ１／（σ−１）　　（０＜σ≦２）

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［雑感］しかし，これではΣ１／ｐ^2＞０となって，実効的な下限は得られない．

　ｐnまでとｐn+1からに分けると

　　Σ（１／ｐ^σ）＜−１／２・Σ（１／ｐ^σ）＋Σ（１／ｐ^σ）

これも同様である．

　ｌｏｇζ（σ）＜Σ１／ｌｏｇ（ｐ^σ−１）＜２Σ１／ｐ^σ

　Σ１／ｐ^σ＞１／２・ｌｏｇζ（σ）

　Σ１／ｐ^2＞１／２・ｌｏｇζ（２）＝ｌｏｇ（π／√６）＝０．２４８８４９・・・これも実効的ではない．

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