【１】正２０面体の計量

　立方体に内接する黄鉄鉱型三角二十面体を考える．正三角形面（１１１）の３頂点を

　　（ａ，０，１），（１，ａ，０），（０，１，ａ）

とする．その重心はｇ＝（ａ＋１）／３とすると

　　（ｇ，ｇ，ｇ）

である．

　１辺の長さの２乗は

　　ａ^2＋１＋（ａ−１）^2＝２ａ^2−２ａ＋２

　（２１０）の短辺は２ａであるから，

４ａ^2：２ａ^2−２ａ＋２＝１：１

２ａ^2：ａ^2−ａ＋１＝１：１

ａ^2＋ａ−１＝０

ａ＝（−１＋√５）／２＝１／φ＝φ−１

　（１１１）に１辺の長さは

（２ａ^2−２ａ＋２）^1/2＝√５−１＝２／φ＝２φ−２

　（その１）の場合と同じ．すなわち，同じ大きさの立方体からできる正２０面体と黄鉄鉱型三角二十面体の正三角形面の大きさは等しい．

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　２ａ^2−２ａ＋２＝２（ａ−１／２）＋３／４はａ＝１／２について対称．

２−φとφ−１の値は等しい

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