正二十面体を立方格子状に配置した隙間を埋めるものは、黄鉄鉱型の三角二十面体と黄金比の四面体であることがわかりました。正二十面体の一辺を１とすると、（２１０）の短辺は１/φです。　　（中川宏）

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【１】黄鉄鉱型三角二十面体の計量

　１辺の長さ２の立方体に内接する黄鉄鉱型三角二十面体を考える．正三角形面（１１１）の３頂点を

　　（ａ，０，１），（１，ａ，０），（０，１，ａ）

とする．その重心はｇ＝（ａ＋１）／３とすると

　　（ｇ，ｇ，ｇ）

である．

　１辺の長さの２乗は

　　ａ^2＋１＋（ａ−１）^2＝２ａ^2−２ａ＋２

　（２１０）の短辺は２ａであるから，

４ａ^2：２ａ^2−２ａ＋２＝１：φ^2

２ａ^2：ａ^2−ａ＋１＝１：φ^2

（２φ^2−１）ａ^2＋ａ−１＝０

（２φ＋１）ａ^2＋ａ−１＝０

ａ＝（３−√５）／２＝２−φ

　（１１１）に１辺の長さは

（２ａ^2−２ａ＋２）^1/2＝√５−１＝２／φ＝２φ−２

木工のために、黄鉄鉱型の三角二十面体の｛１１１｝面間の距離が必要になる．

　２（３ｇ^2）^1/2＝２ｇ√３

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