【２】連続数のヘロン三角形

　（１３，１４，１５）というヘロン三角形は，既約で，３辺の長さの公差が１の等差数列であって，元祖（３，４，５）についで興味深いものである．その次に大きいのが（５１，５２，５３）である．

　ａ＜ｂ＜ｃとしても一般性を失わない，

　　ａ＝ｂ−１，ｃ＝ｂ＋１

また，ｂを底辺としたときの高さをｈとすると，三角形の面積は

　　Ｓ＝ｂｈ／２，Ｓ^2＝ｂ^2ｈ^2／４

　ヘロンの公式より，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとすると，三角形の面積は

　　Ｓ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）

　＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4）／１６

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）／１６

　＝３ｂ^2（ｂ^2−４）／１６

　これより

　　４ｈ^2＝３（ｂ^2−４）

ここで，ｂ＝２ｍとおくと，

　　ｈ^2＝３（ｍ^2−１）

であるから，ペル方程式ｈ^2−３ｍ^2＝−３というペル方程式に帰着される．

　これを解くと

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（１３，１４，１５），（５１，５２，５３），（１９３，１９４，１９５），（７２３，７２４，７２５），（２７０１，２７０２，２７０３），・・・が得られる．

　また，ｂ，ｈ，ｍについては漸化式

　　ａn＝４ａn-1−ａn-2

ａ，ｃについては漸化式

　　ａn＝５ａn-1−５ａn-2＋ａn-3

Ｓについては漸化式

　　ａn＝１４ａn-1−ａn-2

が得られる．

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［１］最小のヘロン三角形（３，４，５）の面積は６である．

［２］１４＝４^2−２より，２番目のヘロン三角形は（１３，１４，１５），面積は８４である．

［３］１９４＝１４^2−２より，３番目のヘロン三角形は（１９３，１９４，１９５），面積は８４である．

［４］３７６３４＝１９４^2−２より，４番目のヘロン三角形は（３７６３３，３７６３４，３７６３５）である．

［５］以下同様に続けられる．

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