ピタゴラス数は

　　ｘ^2＋ｙ^2＝ｚ^2

を満たす自然数の三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）のことである．幾何学的には直角三角形の斜辺の長さの２乗は他の２辺の長さの２乗の和に等しいことをいっている．

　これを満たす三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）は無限にあるが，最初の１組は（３，４，５）である．３辺の長さ比が３：４：５の直角三角形は代表的かつ最小のピタゴラス三角形ですから，ピタゴラス三角形の大家族の元祖という意味で，エジプト三角形と呼ばれることもあります．

　ほかに（５，１２，１３），（７，２４，２５），（２９，４２０，４２１）など

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　直角二等辺三角形（１，１，ａ）では

　　ａ^2＝１＋１＝２

　ａは１よりも大きく，２よりも小さいから分数になるとすると

　　（７／５）^2＝１．９６

　　（７０７／５００）^2＝１．９９９３９６

　　（７０７２／５０００）^2＝２．０００５２７３６

　ところが，２乗して２になる分数はないのである．

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　素数が無限に存在すること，√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．

（証）既約な整数ｐ，ｑが存在して，

　　（ｐ／ｑ）^2＝２

のように書けるものと仮定する．

　　ｐ^2＝２ｑ^2→ｐは２の倍数

ｐ＝２ｐ’とすると

　　２ｐ’^2＝ｑ^2→ｑは２の倍数

ｑ＝２ｑ’とすると，ｐ，ｑは互いの袖ルトする仮定に反する．

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　　√２＝１．４１４２１３５６２３７３０９５・・・

　数字はは無限につづき，

　　３／７＝０．４２８５７１４２８５７１４２８５７１・・・

のような規則性もないのである．

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