パスカルの三角形の奇数を黒に，偶数を白に塗ればシェルピンスキの三角形として知られるフラクタルができる．

　パスカルの三角形の初めのｎ段に現れる奇数の個数をＰnとすると

　　０．８１２・・・＜Ｐn／ｎ^log2/log3＜１

がいえる．

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［１］シングマスターは，１より大きいすべての数はパスカルの三角形に高々

　　２＋２ｌｏｇ2ｎ

回出現することを証明しました．

　　６＝6Ｃ1＝6Ｃ5＝4Ｃ2

　　１５＝6Ｃ2＝6Ｃ4＝15Ｃ1＝15Ｃ14

［２］また，シングマスターは，２^48までの数のなかで，すべての数は高々８回しか出現しないことを観察しました．

　　２＋２ｌｏｇ2２^48＝９８

ですから，

　　２＋２ｌｏｇ2ｎ

は引き下げられるべき上限なのでしょう．

　その８回出現する数が３００３なのです．

　　３００３＝14Ｃ6＝14Ｃ8＝15Ｃ5＝15Ｃ10＝78Ｃ2＝78Ｃ76＝3003Ｃ1＝3003Ｃ3002

　78Ｃ2は３００３が三角数であることを示しています．

　　３００３＝７７・７８／２

［３］さらに，シングマスターは，パスカルの三角形に６回出現する数は無限個あることを証明しました．

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