説明するまでもないかもしれないが，整数の比で表せない数を無理数（例：√２）と呼ぶ．いい換えれば，整数係数の１次式の根にはならない数が無理数なのである．無理数の中でも，整数係数多項式の根となる数が代数的数（例：3√５はｘ^3−５＝０の根）であり，それに対して，超越数とは，整数係数のどのような代数方程式の根にもならない数（例：π，ｅ）のことである．

　超越数は無理数であり，無理数のほとんどは超越数であることが証明されている．無理数は超越数の候補ではあるが，超越数とは別の由来をもち，次元の異なる数なのである．

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【１】超越数

　古代ギリシャのピタゴラス学派は√２や黄金比を発見し，それらが有理数ではないことを知って驚きましたが，超越数の研究が本格的に始まったのは，１８４４年，リューヴィルによる超越数の発見以後のことです．

　リューヴィルは

　　２^(-1!)＋２^(-2!)＋２^(ｰ3!)＋・・・＋２^(-n!)＋・・・

が超越数であること，すなわち，超越数の存在をはじめて示したのです．後にカントールは，ほとんどの数は超越数であることを証明しています．

　１８７３年，エルミートは

　　ｅ＝１＋１／１！＋１／２！＋・・・＋１／ｎ！＋・・・

が超越数であることを証明しました．これはリューヴィル数のような人為的に作った数ではない最初の超越数です．

　リンデマンは，エルミートの方法を一般化して，πの超越性を証明するのですが，リンデマンの定理（１８８２年）より，

　　ｅ，π，ｅ^（√２），ｅ＾α，ｌｏｇ２，ｌｏｇβ

　　　（α，βは代数的数で，α≠１，β≠１）

の超越性が導かれます．

　πは超越数ですから√πも超越数なのですが，したがって，√πは代数方程式の解とはなりえず，ギリシャの三大作図問題のひとつ，円積問題（円の正方形化問題）は作図不能となるのです．また，これにより，指数関数：ｙ＝ｅｘｐ（ｘ）は，点（０，１）を除き代数的点を通ることができないことになるのですが，指数曲線や対数曲線が超越曲線と呼ばれる所以です．

　１９００年，ヒルベルトはパリの国際数学者会議において，２^（√２）が超越数であるかどうかを当時の数学の問題のひとつとしました（ヒルベルトの第７問題）．この問題は，「０または１でない代数的数αと有理数でない代数的数βに対し，α^βが超越数であることを示せ」というものですが，１９３４年，ゲルフォントとシュナイダーによって独立に，肯定的に解決されました．

　その結果，

　　２^（√２），ｅ^π，α^β，ｌｏｇ10２，ｌｏｇbａ

がいずれも超越数であることが判明しました．なお，

　　ｅ^π＝(-1)^(ｰi)

は，ゲルフォント・シュナイダーの定理によって超越数なのですが，

　　π^ｅ，π^π，ｅ^ｅ

は有理数かどうかもわかっていませんし，π＋ｅは無理数かどうかも知られていません．

　ついでに述べますと，１９２９年，マーラーは

　　２^(-2^1)＋２^(-2^2)＋２^(ｰ2^3)＋・・・＋２^(-2^n)＋・・・

の超越性を示し（マ−ラーの定理），さらに１９６１年には，自然数を順に並べて得られる正規１０進法小数（チャンパーナウン数）

　　０．１２３４５６７８９１０１１１２１３・・・

が超越数であることを示しました．

　また，Γ(1/2)＝√πは超越数ですが，ネステレンコの定理より，

　　Γ(1/3)，Γ(1/4)

も超越数であることが導かれます．

　この辺の話を詳しく知りたい方には「無理数と超越数」塩川宇顕（共立出版）をお勧めします．

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