【６】素数定理とエラトステネスのふるい

　さて，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

は１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明され，素数定理として知られています．

　素数定理をエラトステネスのふるいという初等的な方法を用いて，ラフなスケッチ程度に誘導してみましょう．ｘまでのすべての整数うちで，奇数，すなわち２で割れない数は大体半分（１−１／２）あります．奇数のうちで，３で割り切れない数は２／３＝１−１／３あります．さらに，残っている数のうち，５で割り切れない数は１−１／５あります．したがって，ｘを越えない素数の個数はこれらの積をすべての素数ｐにわたってとればよいことになり，近似的に

　　Π（１−１／ｐ）・ｘ

に等しくなります．さらに，Π（１−１／ｐ）は近似的に１／ｌｏｇｘに等しくなります（その１０５参照）．ただし，これをきちんとした形で証明するのは微積分を使っても容易ではありません．専門的で，ここで説明することはできそうにありませんから，天下り式に結果だけを示しておきます．このことを認めれば，素数定理π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘが導出されたことになります．

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