【１】ゼータ関数

　興味をそそり胸をわくわくさせるのは，収束する無限級数がいったいどんな数値に収束するのかという点です．幾何級数や調和級数などの無限級数は初等的で簡単に証明可能でしたが，１８世紀最大の数学者オイラーが１７３６年に発見した結果はエレガントなだけでなく意外なものでした．その無限級数とは調和級数を拡張させた

　１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６

です．

　この式の驚くべき点は自然数のみを含む級数の極限に円周率πが突然現れることです．実際，この足し算をいくら見つめても答えに円周率の現れそうな気配はまったくありません．

　１７２８年にベルヌーイはこの和が８／５に近いと述べ，その後，オイラーは何年もこの足し算にとりつかれ大変な努力の末にこの値を求めましたが，π^2／６であることをつきとめたとき，平方数の逆数和のかなたに円周率が浮かび上がる不思議にとても感動したようです．

　オイラーの無限級数和Σ１／ｎ^s はｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られており，ゼータ関数は調和級数

　　ζ（１）＝Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＝∞

を一般化したものと考えることができます．

　ゼータ関数を用いると

　１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６＝ζ（２）

と表されます．以下，ζ（４）＝π^4／９０，ζ（６）＝π^6／９４５が続きます．

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