調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，

　　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞

は容易に示すことができました．

　ここで，ｎ番目の調和数を

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．それでは，・・・

［Ｑ］ｎ＞１ならば，Ｈn は整数にはならないことを示せ．

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　たとえば，分母が２のべき乗になっている項のうちで，その指数が最大のものを考えると，それと組になる項がどこにもありません．このことから，Ｈnは分子が奇数で，分母が偶数の分数になるのですが，このことをきちんとした形で書いてみましょう．

（証）２^k≦ｎとなる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，

　　２^(k-1)ＰＨn

　＝２^(k-1)Ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ）

は，２^(k-1)Ｐ／２^k以外の項はすべて整数となる．

　なお，これと類似の問題としては，

　　ａ）　１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

は決して整数にはならない　　　（タイシンガー，１９１５年）

　　ｂ）　１／（ａ＋１）＋１／（ａ＋２）＋・・・＋１／（ａ＋ｎ）

は決して整数にはならない　　　（クルシュチャク，１９１８年）

　　ｃ）　１／（ａ＋ｄ）＋１／（ａ＋２ｄ）＋・・・＋１／（ａ＋ｎｄ）

は決して整数にはならない　　　（エルデシュ，１９３２年）

などがあげられます．

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