■おかあさんのための数学教室(その92)
an=(1+1/n)^n
[Q]n→∞とするとき,数列{an}は発散それとも収束?
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a1=(1+1/1)^1=2
a2=(1+1/2)^2=2.25
a3=(1+1/3)^3=2.37
a4=(1+1/4)^4=2.44
a5=(1+1/5)^5=2.488
a6=(1+1/6)^6=2.52
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a100=(1+1/100)^100=2.704
単調増加し,収束しそうにみえるが,実際,
lim(1+1/n)^n
=2.71828182845904523536・・・
=e
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πについても一言.
[1]ウォリスの公式
2/π=(1・3/2・2)(3・5/4・4)(5・7/6・6)・・・
=Π(2n−1)・(2n+1)/2n・2n
[2]グレゴリー級数
π/4=1−1/3+1/5−1/7+1/9−・・・
π/6=1/√3{1−1/3・3+1/5・3・3−1/7・3・3・3+1/9・3・3・3・3−・・・}
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