１７２９は２つの３乗数で２通りに表せる最小の数である．

　　１７２９＝１２^3＋１^3＝１０^3＋９^3

　それでは

［Ｑ］２つの平方数の和として，２通りに表せる最小の数をみつけよ．ただし，

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2＋ｄ^2

において，ａｂｃｄ≠０，ａ≠ｂ，ｃ≠ｄとするので，

　　０^2＋５^2＝３^2＋４^2＝２５

　　１^2＋７^2＝５^2＋５^2＝５０

などは除外する．

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［Ａ］６５

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．

　この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．また，この積は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることを示しています．

　たとえば，

　　５０＝５・１０

　　５＝１^2＋２^2，１０＝１^2＋３^2

より，

　　５０＝（１・１＋２・３）^2＋（１・３−２・１）^2＝７^2＋１^2

　　５０＝（１・１−２・３）^2＋（１・３＋２・１）^2＝５^2＋５^2

　　６５＝５・１３

　　５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2

　　６５＝（１・２＋２・３）^2＋（１・３−２・２）^2＝８^2＋１^2

　　６５＝（１・２−２・３）^2＋（１・３＋２・２）^2＝４^2＋７^2

となります．

>　　ａ＝ｂまたはｃ＝ｄのときは，積はたった１通りの方法で２つの平方数の和になります．

　　１０＝２・５

　　２＝１^2＋１^2，５＝１^2＋２^2

　　１０＝（１・１＋１・２）^2＋（１・２−１・１）^2＝３^2＋１^2

　　１０＝（１・１−１・２）^2＋（１・２＋１・１）^2＝１^2＋３^2

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