ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3

を満たす自然数の三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）は存在しないが

　　ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3±１

を満たす自然数の三つ組み（ｘ，ｙ，ｚ）は存在するとする．たとえば

　　６^3＋８^3＝９^3−１

［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝ｚ^3±１の例をみつけよ．

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［Ａ］ｘ^3±１＝ｚ^3−ｙ^3＝（ｚ−ｙ）（ｚ^2＋ｚｙ＋ｙ^2）＝ａ・ｂ

　因数分解（ｚ−ｙ）（ｚ^2＋ｚｙ＋ｙ^2）において

　　ｚ−ｙ＝ａ

　　ｚ^2＋ｚｙ＋ｙ^2＝（ｚ−ｙ）^2＋３ｚｙ＝ｂ

とおいても，ａ，ｂの偶奇性は不明である．個別に見つけるしかない．

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［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝９^3−１＝７２８を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

［Ａ］ｘ^3＋ｙ^3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2）＝７・８・１３

［１］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・８・１３，ｘ＋ｙ＝１

［２］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝８・１３，ｘ＋ｙ＝７

［３］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・１３，ｘ＋ｙ＝８

［４］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７・８，ｘ＋ｙ＝１３

［５］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１３，ｘ＋ｙ＝７・８

［６］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝８，ｘ＋ｙ＝７・１３

［７］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝７，ｘ＋ｙ＝８・１３

［８］ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝１，ｘ＋ｙ＝７・８・１３

　　ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

に代入すると（ｘ，ｙ）＝（６，８），（８，６）が得られる．

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