合同な凧形２４枚を貼り合わせた凧型２４面体は準正多面体の双対なので，内接球をもつ．（その４）の辺の長さの比は

　　（２７／１６・９／１０）^1/2＝１．２３２４

であったが，凧型２４面体ではどうなるだろうか？

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【１】凧型２４面体の計量

　アルキメデス双対を作るためには，アルキメデス立体を球に内接させ，多面体の頂点における球の接平面上に，面心を投影する必要があります．準正多面体は球に内接しても外接しないので，各頂点に集まる面の中心を結んでできる多角形が平面多角形にならないからです．

　もとの立方体の１辺の長さを２，正方形面の１辺の長さをｄとおくと，準正多面体［３，４，４，４］の場合，立方体を

　　ｄ＝２（√２−１）

で切稜すると正方形６枚と六角形１２枚の２種類の面をもつ１８面体（切稜立方体）ができあがります．この１８面体は内接球をもつ唯一の切稜１８面体であるのみならず，Ｓ^3／Ｖ^2比が最小（すなわち，表面積の割に体積が大きい）という性質をもつ特別な切稜立方体となっています．

　外接球はもちませんが，この切稜立方体の六角形面が３枚集まる頂点を三角錐状に削り取ることによって，準正多面体［３，４，４，４］ができあがります．この準正多面体は斜立方八面体あるいは小菱形立方八面体と呼ばれているのですが，準正多面体ですから外接球をもつようになります．

(1)正方形面の頂点の座標：（ｄ／２，ｄ／２，１）

　明示的に書くと，ｄ＝２（√２−１）ですから

　　（√２−１，√２−１，１）

の±を含めた巡回置換によって得られることがわかります．そして，原点から頂点までの距離の２乗は

　√２（√２−１）^2＋１^2＝７−４√２＝Ｒ^2

(2)正方形面の中心の座標：（０，０，１）

(3)もとは六角形面だった正方形面の中心の座標：

　　（ｄ／４＋１／２，０，ｄ／４＋１／２）

　　（０，ｄ／４＋１／２，ｄ／４＋１／２）

(4)正三角形面の中心の座標：

　　（（ｄ＋１）／３，（ｄ＋１）／３，（ｄ＋１）／３）

　外接球はｘ^2＋ｙ^2＋z^2＝Ｒ^2ですから，(1)正方形面の頂点（ｄ／２，ｄ／２，１）における接平面は

　　　ｄ／２・ｘ＋ｄ／２・ｙ＋ｚ＝Ｒ^2

で与えられます．

　したがって，外接球の中心から接平面上に(2),(3),(4)を投影すると，それぞれ，

(2)→ｘ＝０，ｙ＝０とおく→（０，０，７−４√２）

(3)→ｘ＝ｚ，ｙ＝０とおく→（（−８＋７√２）／２，０，（−８＋７√２）／２）

(3)→ｙ＝ｚ，ｘ＝０とおく→（０，（−８＋７√２）／２，（−８＋７√２）／２）

(4)→ｘ＝ｙ＝ｚとおく→（（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７，（−９＋１０√２）／７）

　これより凧形の辺長(1.028,0.795115)で辺長比は1.29289，内角は(81.579°×3,115.263°)，二面角はすべて等しく138.118°と計算されます．

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　凧型２４面体は辺長比1.29289，内角

　　鋭角（ａ）＝81.579°

　　鈍角（ｏ）＝,115.263°

　　ａとｏに挟まれた鋭角（ｂ）＝81.579°

の凧形を２４枚を貼り合わせた多面体で，二面角はすべて等しく138.118°と計算される．

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