中川宏さんのお話では

［１］これまで知られているものでは，等面の菱形多面体は３０面が最大，等面多面体(Isohedron)はカタランの１２０面（三角形面）が最大です．

［２］菱形４８面かどうかわかりませんが、頂点形状は鋭角A，鈍角Oとして，AAAA、AOAO、AAOO、OOOの４種類ありそうです．

　ここまでくるとトポロジーに解析幾何を持ち込んだほうがよさそうだ．

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【１】菱形１２面体の最大切稜

　菱形１２面体の頂点を

　（±２，０，０），（０，±２，０），（０，０，±２）

　（±１，±１，±１）

とする．

　辺（０，０，２）−（１，−１，１）の中点は（１／２，−１／２，３／２）

原点と中点を通る直線に直交する平面：ｘ−ｙ＋３ｚ＝ｄが面心（０，−１，１）を通るから，ｄ＝４

ｘ−ｙ＋３ｚ＝４

　辺（０，０，２）−（１，１，１）の中点は（１／２，１／２，３／２）それに直交する平面：ｘ＋ｙ＋３ｚ＝ｄが面心（１，０，１）を通るから，ｄ＝４

ｘ＋ｙ＋３ｚ＝４

頂点（０，０，２）周りの切稜面は

ｘ−ｙ＋３ｚ＝４

ｘ＋ｙ＋３ｚ＝４

−ｘ＋ｙ＋３ｚ＝４

−ｘ−ｙ＋３ｚ＝４

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　辺（０，−２，０）−（１，−１，１）の中点は（１／２，−３／２，１／２）それに直交する平面：ｘ−３ｙ＋ｚ＝ｄが面心（０，−１，１）を通るから，ｄ＝４

ｘ−３ｙ＋ｚ＝４

　辺（２，０，０）−（１，−１，１）の中点は（３／２，−１／２，１／２）それに直交する平面：３ｘ−ｙ＋ｚ＝ｄが面心（１，０，１）を通るから，ｄ＝４

３ｘ−ｙ＋ｚ＝４

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　交点を求めるのも一法であるが，面倒である．

　　Ｖ＝ｖ＋ｆ

であるから，原多面体の面心の座標と，中心と頂点を結ぶ線上で切稜によって残る点を計算する方がよさそうである．

ｘ−ｙ＋３ｚ＝４

ｘ＋ｙ＋３ｚ＝４

−ｘ＋ｙ＋３ｚ＝４

−ｘ−ｙ＋３ｚ＝４

では（ｘ，ｙ）＝（０，０）としてｚ＝４／３であるから

（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０，４／３）

ｘ−ｙ＋３ｚ＝４

ｘ−３ｙ＋ｚ＝４

３ｘ−ｙ＋ｚ＝４

ｘ＝−ｙ＝ｚとして，（ｘ，ｙ，ｚ）＝（４／５，−４／５，４／５）

　すると凧型を構成する４点は

　　Ａ（０，０，４／３）

　　Ｂ（１，０，１）

　　Ｃ（４／５，−４／５，４／５）

　　Ｄ（０，−１，１）

ＡＢ^2＝１＋（１／３）^2＝１０／９＝ＤＡ^2

ＢＣ^2＝２（１／５）^2＋（４／５）^2＝１８／２５＝ＣＤ^2

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　辺の長さの比は

　　（１０／９・２５／１８）^1/2＝１．２４２３

となり，凧型２４面体とは異なっている．

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