【１】浅切稜多面体の計量

　ｐ角形面およびｑ稜頂点をもつ正多面体を，シュレーフリにしたがって

　　（ｐ，ｑ）

で表すことにしましょう．また，凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとします．

　多面体の浅切稜によって，辺は六角形面に，ｑ本の辺の会する頂点はｑ角錐になります．一般に正多面体は（ｐ，ｑ），（ｖ，ｅ，ｆ）で表されるわけですが，このことから，正多面体の切稜多面体（Ｖ，Ｅ，Ｆ）は

　　Ｆ＝ｆ＋ｅ

　　Ｅ＝２ｅ＋ｑｖ

　　Ｖ＝ｖ＋ｑｖ

で表されることがわかります．

　たとえば，立方体では（ｐ，ｑ）＝（４，３），（ｖ，ｅ，ｆ）＝（８，１２，６）ですから，その切稜多面体は

　　Ｆ＝１８，Ｅ＝４８，Ｖ＝３２

となります．もちろん切稜後もオイラーの多面体公式

　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝ｖ−ｅ＋ｆ＝２

は成り立ちます．

　一般の多面体では

　　Σｐi＝ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ

　　Σｑi＝ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

正多面体では

　　ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅ

となりますから，（Ｖ，Ｅ，Ｆ）を（ｖ，ｅ，ｆ）だけで表すことにすれば

　　Ｆ＝ｆ＋ｅ

　　Ｅ＝４ｅ

　　Ｖ＝ｖ＋２ｅ

となります．

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【２】深切稜多面体の計量

　ここでは，正多面体を面心まで最大限切稜することを考えます．その場合の切稜多面体（Ｖ，Ｅ，Ｆ）は

　　Ｆ＝ｅ

　　Ｅ＝ｑｖ

　　Ｖ＝ｖ＋ｆ

で表されることがわかります．

　たとえば，立方体では（ｐ，ｑ）＝（４，３），（ｖ，ｅ，ｆ）＝（８，１２，６）ですから，その切稜多面体は

　　Ｆ＝１２，Ｅ＝２４，Ｖ＝１４

となります（菱形１２面体）．

　正四面体では（ｐ，ｑ）＝（３，３），（ｖ，ｅ，ｆ）＝（４，６，４）ですから，その切稜多面体は

　　Ｆ＝６，Ｅ＝１２，Ｖ＝８

となります（立方体）．

　正四面体を深切稜すると立方体→立方体を深切稜すると菱形１２面体

というラインができたわけでが，それでは・・・

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［Ｑ］菱形１２面体を面心まで切稜すると，どのような多面体ができるでしょうか？

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