曲線上の有理点全体を１つの変数の有理式として表すことのできる曲線を有理曲線といいます．楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．

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【１】半径１の円

　原点を中心とする半径１の円：ｘ^2＋ｙ^2＝１の円周上のひとつの有理点が（０，１）です．この点を通る直線ｙ＝ｍｘ＋１と単位円との交点は，代入して因数分解すれば

　　ｘ^2＋（ｍｘ＋１）^2＝１

　　ｘ（（１＋ｍ^2）ｘ＋２ｍ）＝０

より

　　ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），ｙ＝ｍｘ＋１＝（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）

と表すことができます．これによって，円周上の点（ｘ，ｙ）が有理点であるためには，ｍが有理数であることが必要十分条件であることがわかります．すなわち，単位円上のすべての有理点は，ｍの関数

　　ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），ｙ＝±（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）

で表すことができます．

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【２】半径√２の円

　ｘ^2＋ｙ^2＝２（半径√２の円）において（１，１）は有理点で，この点を通る直線の方程式

　　ｙ−１＝ｍ（ｘ−１）を（ｘ^2−１）＋（ｙ^2−１）＝０に代入して因数分解すると

　　ｘ＝（ｍ^2−２ｍ−１）／（ｍ^2＋１）

　　ｙ＝（−ｍ^2−２ｍ＋１）／（ｍ^2＋１）

が得られます．ｍ＝∞に対応する（１，−１）も有理点です．

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