通常のサイコロ２つを振ったときでる目の合計は，

　　　１　　２　　３　　４　　５　　６

１　　２　　３　　４　　５　　６　　７

２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

５　　６　　７　　８　　９　　10　　11

６　　７　　８　　９　　10　　11　　12

となって，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２はそれぞれ１，２，３，４，５，６，５，４，３，２，１回現れる．

　｛１，２，２，３，３，４｝と｛１，３，４，５，６，８｝の目をもつサイコロ（シチャーマンの変わりサイコロ）の場合，目の合計は

　　　１　　２　　２　　３　　３　　４

１　　２　　３　　３　　４　　４　　５

３　　４　　５　　５　　６　　６　　７

４　　５　　６　　６　　７　　７　　８

５　　６　　７　　７　　８　　８　　９

６　　７　　８　　８　　９　　９　　10

８　　９　　10　　10　　11　　11　　12

となって，この場合も２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２はそれぞれ１，２，３，４，５，６，５，４，３，２，１回現れる．

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　通常のサイコロの母関数は

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6

　　　　　　＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）

であり，２つを振ったときでる目の合計の母関数は

　　｛Ｐ（ｘ）｝^2＝ｘ^2（ｘ＋１）^2（ｘ^2＋ｘ＋１）^2（ｘ^2−ｘ＋１）^2

＝ｘ^2＋２ｘ^3＋３ｘ^4＋４ｘ^5＋５ｘ^6＋６ｘ^7＋５ｘ^8＋４ｘ^9＋３ｘ^10＋２ｘ^11＋ｘ^12

になる．

　したがって，たとえば，

　　Ｑ（ｘ）＝ｘ^2（ｘ＋１）^2（ｘ^2＋ｘ＋１）

＝ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^5＋ｘ^6

　　Ｒ（ｘ）＝（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）^2

＝ｘ^0＋ｘ^1＋２ｘ^2＋ｘ^3＋２ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6

ならば，

　　｛Ｐ（ｘ）｝^2＝Ｑ（ｘ）Ｒ（ｘ）

となる．

　しかし，これでは，四面体サイコロ｛２，３，５，６｝と九面体サイコロ｛０，１，２，２，３，４，４，５，６｝であって，条件に適さない．

　　Ｑ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）

＝ｘ＋２ｘ^2＋２ｘ^3＋ｘ^4

　　Ｒ（ｘ）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）^2

＝ｘ^1＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6＋ｘ^8

の場合だけ，六面体サイコロ｛１，２，２，３，３，４｝と六面体サイコロ｛１，３，４，５，６，８｝になるのである．

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