［１］kissing number

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，

　　τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０

の６つだけです．τ4＝２４であることが証明されたのは２００３年，ロシアの数学者ミュージンによってです．

［２］ケプラー予想

　３次元空間の球の充填問題は「ケプラー問題」と呼ばれるものですが，この問題は１９９８年にトマス・ヘールズとファーグソンによって証明されました．これにより「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」ことになります．また，ｎ＝２４のとき，リーチ格子が唯一最密な球の詰め込みを与えることが証明されています（コーン，クマール：２００４年）．

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［３］４円定理

　４つの円が環になるように接している．このとき接点が４つできるが，これらは同じ円上の４点になっている．

［４］パスカルノ６角形定理

　円上に６点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆを取る．Ａ→Ｄ→Ｂ→Ｆ→Ｃ→Ｅ→Ａの順に繋ぐと３つの交点Ｘ，Ｙ，Ｚが作られる．これらは同じ直線上の３点になっている．

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［Ｑ］互いに接する半径１の３つの円がある．こられに内側から接する第４の円，外側から接する第４の円の半径を求めよ．

［Ａ］ピタゴラスの定理を使っても解ける問題を思われるが，ここではデカルトの定理

　　（ｋ1＋ｋ2＋ｋ3＋ｋ4）^2＝２（ｋ1^2＋ｋ2^2＋ｋ3^2＋ｋ4^2）

　　　ｒi＝１／ｋi

を用いてみたい．

　３つの円の曲率は１，第４の円の曲率をｋとすると

　　（３＋ｋ）^2＝６＋２ｋ^2　→　ｋ＝３±２√３

　内側から接する第４の円の半径は（正の方を採用して）

　　ｒ＝１／（３＋２√３）＝（３−２√３）／３

　外側から接する第４の円の半径は（負の方を採用して）

　　ｒ＝１／（２√３−３）＝（２√３＋３）／３

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