単純群は

　　(1)素数位数の巡回群

　　(2)５次以上の交代群

　　(3)リー型の単純群

　　(4)散在型単純群

の４種類に大別される．今日では有限単純群の分類は完成し，合計１８の無限系列と２６個の散在群に限ることがわかっている．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】有限単純群の分類(4)

　代数群などの分野からは発見され得ないし，古典群，交代群のように無限系列にはいっていないという意味で，散在型単純群と呼ばれる単純群が２６個ある．一番小さいのが，１１個の文字の上の置換群であるマシュー群Ｍ11（位数：７９２０），一番大きいものが，モンスター（位数：２^46・３^20・５^9・７^6・１１^2・１３^3・１７・１９・２３・２９・２１・４１・４７・５９・７１）で，モンスターの位数はなんと５４桁にものぼる．

　２６個の散在型単純群の歴史は，実に１００年にわたっている．マシュー群と呼ばれている５種類の単純群Ｍ11，Ｍ12，Ｍ22，Ｍ23，Ｍ24が発見されたのは１８６０〜６１年である．マシュー群の発見以後，１００年あまりの空白期を経て，ヤンコが１９６５年６番目の散在型単純群Ｊ1（位数：１７５５６０）を発見する．

　これを皮切りに，それから１０年という短い間に有限単純群の残りの２０個，鈴木群（イリノイ大学），原田群（オハイオ大学），コンウェイ群，フィッシャーのベビーモンスター群，モンスター群，・・・が次々と発見されてしまった．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【４】有限単純群の分類（モンスターの発見）

　マシューは５重可移性の置換群から，全部で５つの例外的な単純群Ｍ11，Ｍ12，Ｍ22，Ｍ23，Ｍ24をみつけた．ヴィットによるＭ24を構成するためのデザインを利用して，リーチは現在リーチ格子として知られる２４次元におけるもっとも密度の高い配置を作った．リーチ格子では２４次元球１９６５６０個の球と接触している．これが更なる単純群を生み出すことになった．

　コンウェイはリーチ格子に好奇心をそそられ，リーチ格子の第１近接１９６５６０点は３つのグループ（９７１５２＋１１０４＋９８３０４）の３つに分けられるが，あるグループの点を他のグループの点に移す対称性から合計１２個（５つのマシュー群，３つのコンウェイ群＋残り４で計７個の新しい単純群）を発見した．

　そして，美しい怪物は１９７３年イギリスのケンブリッジ大学で誕生し，コンウェイによりモンスターと命名・愛称された．モンスターを線形群の中に埋め込むとすると，最低でも１９６８８３次の行列ＧＬ（１９６８８３，Ｒ）が必要になる．すなわち，１９６８８３次元空間上の線形変換の集まりとして初めてモンスターを捉えることができる．

　モンスターの発見と構成は２６個の散在型単純群の中でも特異な位置を占めていて，２６個の散在群のうち，２０個がモンスターの部分群として現れるのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝