＜ゼータの分身とエルミート行列＞

　ゼータの分身たちに関し、異分野との接触が見えたので速報としてお伝えします。

　L(1)やζ(2)の分身たちの特殊値は、実対称行列（エルミート行列の一種）の固有値に本質的に一致することがわかってきました。すなわち、次のようになっている。

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「ゼータ分身の特殊値を解にもつ代数方程式」＝「実対称行列(エルミート行列)の固有方程式」となっていて、その固有方程式の固有値は分身たちの特殊値に本質的に一致する。

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■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その５２） http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12808_x7.htm -----�@

■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その８６）http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/13390_y9.htm -----�A

　なぜこんなことがいえるかというと、次の通りです。�@や�AのサイトでL(1)やζ(2)の分身の値を解にもつ方程式を考察しました。�Aでは「上記の代数方程式は解(根)は全て実根であり、その解はζ(2)の分身の値となる。 」と”全て実根”を強調して書きました。何かを感じていました。

　群論の本で次の定理を見ました。

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[定理]

　エルミート行列の固有値は実数で、縮重がなければ、その固有ベクトルは互いに直交する。

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　これを見て、L(1)やζ(2)の分身の値を解にもつ代数方程式は、エルミート行列の固有方程式（その解は全て実根！）になっているに違いないと思い、すこし計算し、それが確信できたという次第です。

　まだ三例しか計算していませんが、この方向は正しいと確信します。現在、計算できているのは、L(1)２分割、ζ(2)２分割、L(1)３分割の場合です。

　例えば、L(1)３分割の３分身の特殊値は�@サイトの方程式の中の次の�B式の三つの実数解(実根)と本質的に一致しますが、この�B式はある３次実対称行列(エルミート行列)の固有方程式になっています。その３次実対称行列の３個の固有値が、 L(1)３分身の値三つと”本質的に”一致する。（下記「L(1)３分割」 参照）

　　x^3 -3x^2 -3x +1＝0---�B

　”本質的に”としたのは、下記L(1)３分割 の”π/12”の部分を除いたtan(**)の部分、つまり、tan(5π/12) ,-tan(3π/12),tan(π/12)が�Bの解だからです。”(π/12)tan(**)”のπ/12までも含めた値を解にもつ方程式も、�@サイトで同時に求めているので見てください。しかしそれらはどちらでも本質的に同じであり、よってL(1)分身の値の考察には簡単化した方の�Bで十分です。

　さて、�Bはどんな実対称行列の固有方程式になっているのか？　非常に興味あるところと思いますが、それはこのテキストでは書きにくいので、次回Wordからpdfにして投稿したいと思います。

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■L(1)３分割

A1＝ 1 -1/11 +1/13 -1/23 +1/25 -1/35 +・・ ＝(π/12)tan(5π/12)

A2＝1/3 -1/9 +1/15 -1/21 +1/27 -1/33 +・・＝(π/12)tan(3π/12)

A3＝1/5 -1/7 +1/17 -1/19 +1/29 -1/31 +・・＝(π/12)tan(π/12)

　　　A1 -A2 +A3＝π/4＝L(1) です！

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　ゼータ分身を計算していると、その構造に潜む凄い対称性を感じます。群や行列に関係することは間違いないと思っていたので、今回の方向は自然で大事であり、この領域は一挙に拡大したと思います。洞窟がひろがった感じで、とてもうれしいです。 異分野との接触は島と島に橋が架かることであり、豊かな実りをもたらします。

以上。（杉岡幹生）

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