今回は、L(1)分解構造の中の『L(1)⇒L(1)７分割の分身』と『L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身』を調べたので報告します。

　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※　　　　　　　　＜ L(1)分解構造 ＞

　L(1)⇒L(1)２分割の分身⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身⇒L(1)４０分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身⇒L(1)２８分割の分身⇒L(1)５６分割の分身⇒・・・

　・・・・・・・・・・

　このように一つの分身が二つに（倍に）分解する。素数を起点として倍々ゲームで無限に分解（分岐）していく。逆に無限の彼方から見れば、（先頭行を例にとると）・・・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒L(1)などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっている。

（注記）

　L(1)⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・なども当然成り立ちますが、略しました。理由は、前者は上の全体の様子での１行目に含まれており、後者は２行目に含まれていて、表示する必要がないからです（冗長になるので略）。素数のケースだけ書けば十分です。

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　それでは、L(1)が７分割分身に分解し、L(1)７分割分身がL(1)１４分割分身に分解する様子を見ます。７分割は（その３０）の結果を利用し、１４分割はこの頁ではじめて示します。

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　　　　　＜７分割は（その３０）から抜粋＞

■L(1)７分割

A1＝ 1 -1/27 +1/29 -1/55 +1/57 -1/83 + ・・ ＝(π/28)tan(13π/28)

A2＝1/3 -1/25 +1/31 -1/53 +1/59 -1/81 +・・ ＝(π/28)tan(11π/28)

A3＝1/5 -1/23 +1/33 -1/51 +1/61 -1/79 +・・ ＝(π/28)tan(9π/28)

A4＝1/7 -1/21 +1/35 -1/49 +1/63 -1/77 +・・ ＝(π/28)tan(7π/28)

A5＝1/9 -1/19 +1/37 -1/47 +1/65 -1/75 +・・ ＝(π/28)tan(5π/28)

A6＝1/11 -1/17 +1/39 -1/45 +1/67 -1/73 +・・＝(π/28)tan(3π/28)

A7＝1/13 -1/15 +1/41 -1/43 +1/69 -1/71 +・・＝(π/28)tan(π/28)

　A1 -A2 +A3- A4 +A5 -A6 +A7＝π/4＝L(1) となります。

■L(1)１４分割

B1＝ 1 -1/55 +1/57 -1/111 +1/113 -1/167 + ・・ ＝(π/56)tan(27π/56)

B2＝1/3 -1/53 +1/59 -1/109 +1/115 -1/165 + ・・＝(π/56)tan(25π/56)

B3＝1/5 -1/51 +1/61 -1/107 +1/117 -1/163 + ・・＝(π/56)tan(23π/56)

B4＝1/7 -1/49 +1/63 -1/105 +1/119 -1/161 + ・・＝(π/56)tan(21π/56)

B5＝1/9 -1/47 +1/65 -1/103 +1/121 -1/159 + ・・＝(π/56)tan(19π/56)

B6＝1/11 -1/45 +1/67 -1/101 +1/123 -1/157 + ・・＝(π/56)tan(17π/56)

B7＝1/13 -1/43 +1/69 -1/99 +1/125 -1/155 + ・・＝(π/56)tan(15π/56)

B8＝1/15 -1/41 +1/71 -1/97 +1/127 -1/153 + ・・＝(π/56)tan(13π/56)

B9＝1/17 -1/39 +1/73 -1/95 +1/129 -1/151 + ・・＝(π/56)tan(11π/56)

B10＝1/19 -1/37 +1/75 -1/93 +1/131 -1/149 + ・・＝(π/56)tan(9π/56)

B11＝1/21 -1/35 +1/77 -1/91 +1/133 -1/147 + ・・＝(π/56)tan(7π/56)

B12＝1/23 -1/33 +1/79 -1/89 +1/135 -1/145 + ・・＝(π/56)tan(5π/56)

B13＝1/25 -1/31 +1/81 -1/87 +1/137 -1/143 + ・・＝(π/56)tan(3π/56)

B14＝1/27 -1/29 +1/83 -1/85 +1/139 -1/141 + ・・＝(π/56)tan(π/56)

　　　B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8 +B9 -B10 +B11 -B12 +B13 -B14＝π/4＝L(1) となります。

　念のため、上記B1〜B14に対しExcelマクロで数値検証しましたが、左辺の級数は右辺値に収束しました。右辺値の和もπ/4に一致しました。これらB1〜B14の導出方法は以下の通り。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　　　　＜ B1〜B14の導出方法 ＞

　L(1)１４分割式の導出過程を簡単に述べます。次の部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ =(π/(4x))tan(πx/2)

　　このxに(2m-1)/28の値を（m＝14,13,・・・,2,1の順番で）代入することで、それぞれ分割級数B1〜B14が求まります。

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　上記結果より、L(1)は７分割分身に分解することがわかります。これは（その３０）で見たL(1)７分割そのものですから、既に確認した結果であり当然です。

　次に、７分割と１４分割の結果を見比べると、７分割分身はそれぞれ２個に分裂（分解）して１４分割の分身になっていること気づきます。次の通りです。

　 A1 ＝B1 -B14　-----�@

　 A2 ＝B2 -B13　-----�A

　 A3 ＝B3 -B12　-----�B

　 A4 ＝B4 -B11　-----�C

　 A5 ＝B5 -B10　-----�D

　 A6 ＝B6 -B9　 -----�E

　 A7 ＝B7 -B8　 -----�F

　　このように一つの分身が二つに割れていく。逆の見方をすれば、二つの分身が合わさって上のクラスの一個の分身になる。

　その割れ方は（その８５）で見たζ(2)「７分割の分身⇒１４分割の分身」の割れ方と同じです（違いは、右辺で足すか引くかの違いだけ）。（その８５）と本結果と比較すると、その類似性に驚きます。

　このようなことになるのも、ゼータが美しい対称性をもっているからです。これらは対称性から湧き出てきています。

　�@〜�Fに関し、級数での成立は簡単にわかります（眺めるだけでわかる）。また右辺値（特殊値）での成立も、次のようにすれば容易に確かめられる。

　三角関数において次式が成り立つ。

　　tan(π/2 -2x)＝(1/2)｛tan(π/2 -x)- tan(x)｝

　　xにπ/56, 3π/56, 5π/56, 7π/56, 9π/56,11π/56, 13π/56を代入することで、�@〜�Fの特殊値での成立を確かめることができます。

　以上より、L(1)分解構造のうち『L(1)⇒L(1)７分割の分身』と『L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身』の成立が確認できました。

以上。（杉岡幹生）

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