（その１２），（その１３）を補足．

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【４】拡大体Ｆ2^n

　ここでは，Ｆ2係数既約ｎ次方程式がその中に根をもつような有限体Ｆ2^nを構成します．この体は，近年，符号理論・暗号理論などの分野でますます重要な枠割りを果たしています．

　まず，素体Ｆ2の２次拡大：Ｆ4＝Ｆ2^2をつくることにしますが，

　　ｆ（ｘ）＝ｘ^2＋１

は

　　ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝２＝０

より，

　　ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2

のように因数分解されます．したがって，既約多項式ではありません．

　Ｆ2係数２次方程式のうち，Ｆ2の中に根をもたないものは，

　　ｘ^2＋ｘ＋１

だけなのです．そこで，

　　Ｆ2［ｘ］／（ｘ^2＋ｘ＋１）＝｛ａｘ＋ｂ｜ａ，ｂはＦ2の元｝

では，剰余の次数は高々１次で，Ｆ2＝Ｚ／２Ｚの元の集合は｛０，１｝ですから，

　　｛０，１，ｘ，ｘ＋１｝

の４個の剰余類からなります．

　ａｘ＋ｂをａｂとして２進数表示すれば，集合としては

　　Ｆ4＝Ｆ2^2＝｛００，０１，１０，１１｝＝｛０，１，２，３｝

加算はビットごとのＦ2の加法なので省略して，かけ算だけを示しますが，

　　ｘ^2＝−ｘ−１＝ｘ＋１　　（Ｆ2では−１＝１）

に置き換えると

　　×　　０　　１　　２　　３

　　０　　０　　０　　０　　０

　　１　　０　　１　　２　　３

　　２　　０　　２　　３　　１

　　３　　０　　３　　１　　２

　また，素体Ｆ2の３次拡大

　　Ｆ8＝Ｆ2^3＝｛ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ｜ａ，ｂ，ｃはＦ3の元｝

の原始方程式は

　　ｘ3＋ｘ＋１＝０

より，

　　ｘ^3＝−ｘ−１＝ｘ＋１

に置き換えると，例えば，

　　３×５＝０１１・１０１＝（ｘ＋１）（ｘ^2＋１）＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　　　　＝ｘ＋１＋ｘ^2＋ｘ＋１＝ｘ^2＝１００＝４

　　×　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７

　　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０　　０

　　１　　０　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７

　　２　　０　　２　　４　　６　　３　　１　　７　　４

　　３　　０　　３　　６　　５　　７　　４　　１　　２

　　４　　０　　４　　３　　７　　６　　２　　５　　１

　　５　　０　　５　　１　　４　　２　　７　　３　　６

　　６　　０　　６　　７　　１　　５　　３　　２　　４

　　７　　０　　７　　５　　２　　１　　６　　４　　３

　以上より，Ｆ4もＦ8も体であることが確認されました．

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　一般のｎに対するＦ2^nの計算も，原始方程式を見つけることができれば，まったく同様にできます．したがって，問題は原始方程式を見つけることです．任意のｎ次既約多項式はｘ^(p^n)−ｘの約数なのですが，１次因子〜高次因子をすべて求める方法にはこれ以上深入りせず，ｎが比較的小さいときの原始方程式をいくつか掲げておきます．

　最高次数の係数が１の多項式をモニックな多項式というのですが，多項式の場合，モニックで既約な多項式が，整数における素数に対応します．ここでは，Ｆ2［ｘ］において，モニックな既約多項式のみを考えます．

１）１次のモニックな既約多項式は，

　　ｘ，ｘ＋１，の２個．

２）２次のモニックな既約多項式は，

　ｘ^2＋ｘ＋１，ただひとつです．

　定数項が０のものはｘで割り切れますから，候補はｘ^2＋１とｘ^2＋ｘ＋１の２つしかないのですが，ｘ^2＋１＝（ｘ＋１）^2なので不可．ｘ^2＋ｘ＋１は０，１を代入しても０にならないので，１次因子をもたない．従って既約多項式です．

３）３次のモニックな既約多項式は

　　ｘ^3＋ｘ＋１，ｘ^3＋ｘ^2＋１，の２個．

　ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに０，１を代入すると，ｃ，１＋ａ＋ｂ＋ｃで，これがどちらも０にならないのはａ＋ｂ＋１＝０，ｃ＝１のとき．つまり，

　　ａ＝１，ｂ＝０，ｃ＝１またはａ＝０，ｂ＝１，ｃ＝１．

４）４次のモニックな既約多項式は

　　ｘ^4＋ｘ＋１，ｘ^4＋ｘ^3＋１，ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１，の３個．

　ｘ^4＋ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄに０，１を代入すると，ｄ，１＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄで，これがどちらも０にならないのはａ＋ｂ＋ｃ＋１＝０，ｄ＝１のとき．これは１次因子をもたない条件．

　２次の既約多項式はｘ^2＋ｘ＋１だけ．これで割ってみると余りは，（ｂ＋ｃ＋１）ｘ＋ａ＋ｂ＋ｄ．これが０でないのは，ｂ＋ｃ＝０またはａ＋ｂ＋ｄ＝１．合わせればａ＝１，ｂ＝ｃまたはａ＝ｂ，ｃ＝１．よって，

　ａ＝１，ｂ＝ｃ＝０とａ＝ｂ＝ｃ＝１とａ＝ｂ＝０，ｃ＝１

５）５次の既約多項式は

　　ｘ^5＋ｘ^2＋１，など５個．

　　ｘ^5＋ｘ＋１＝（ｘ^3＋ｘ^2＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）

はＦ2［ｘ］上で既約ではない．

６）６次の既約多項式は

　　ｘ^6＋ｘ＋１，など９個．

７）７次の既約多項式は

　　ｘ^7＋ｘ＋１，など１８個．

８）８次の既約多項式は

　　ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋１，など３０個．

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【５】ｐ進数

　有限体の話とよく似た例にｐ進数があります．ｐ進数は，有理数から実数とは違う方向に枝分かれした数といってもよい数体系なのですが，たとえば，７進数の世界では

　　１＋７＋７^2＋７^3＋・・・＝−１／６

２進数では

　　１＋２＋２^2＋２^3＋・・・＝−１

が正しいのです．正数の総和が負になって、一見して目がくらんでしまいますが，別に冗談をいっているのではありません．

　また，有限体の場合と同様，ｐ進数を係数とする方程式を考え，その根をどんどん新しい数としてつけ加えていくと，ついにはどんな方程式からもそれ以上新しい根がでないような数の体系にいきつきます．

　有限体とかｐ進数とか，どちらもｐが素数のとき体をなすのですが，われわれの知らない数はまだまだあるのです．

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