今回は、L(1)分解構造の中の『L(1)⇒L(1)５分割の分身』と『L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身』の二つの分解を示します。

　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

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　　　　　　　　　　＜ L(1)分解構造 ＞

　L(1)⇒L(1)２分割の分身⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身⇒L(1)４０分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身⇒L(1)２８分割の分身⇒L(1)５６分割の分身⇒・・・

　・・・・・・・・・・

　このように、一つの分身が２つに（倍に）分解する。素数を起点として倍々ゲームで無限に分解（分岐）していく。逆に無限の彼方から見れば、（先頭行を例にとると）・・・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒L(1)などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっている。

（注記）

　L(1)⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・なども当然成り立ちますが、略しました。理由は、前者は上の全体の様子での１行目に含まれており、後者は２行目に含まれていて、表示する必要がないからです（冗長になるので略）。素数のケースだけ書けば十分です。

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　それでは、１分割分身が５分割分身に、５分割分身が１０分割分身に分解する様子を見ます。５分割は（その２８）、１０分割は（その２１）の結果を利用します。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　　＜５分割は（その２８）、１０分割は（その２１）から抜粋＞

■L(1)１分割

　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

■L(1)５分割

A1＝ 1 -1/19 +1/21 -1/39 +1/41 -1/59 +・・ ＝(π/20)tan(9π/20)

A2＝1/3 -1/17 +1/23 -1/37 +1/43 -1/57 +・・＝(π/20)tan(7π/20)

A3＝1/5 -1/15 +1/25 -1/35 +1/45 -1/55 +・・＝(π/20)tan(5π/20)

A4＝1/7 -1/13 +1/27 -1/33 +1/47 -1/53 +・・ ＝(π/20)tan(3π/20)

A5＝1/9 -1/11 +1/29 -1/31 +1/49 -1/51 +・・ ＝(π/20)tan(π/20)

　　　A1 -A2 +A3 -A4 +A5＝π/4＝L(1)となります。

■L(1)１０分割

B1＝ 1 -1/39 +1/41 -1/79 +1/81 -1/119 +・・ ＝(π/40)tan(19π/40)

B2＝1/3 -1/37 +1/43 -1/77 +1/83 -1/117 +・・＝(π/40)tan(17π/40)

B3＝1/5 -1/35 +1/45 -1/75 +1/85 -1/115 +・・＝(π/40)tan(15π/40)

B4＝1/7 -1/33 +1/47 -1/73 +1/87 -1/113 +・・ ＝(π/40)tan(13π/40)

B5＝1/9 -1/31 +1/49 -1/71 +1/89 -1/111 +・・ ＝(π/40)tan(11π/40)

B6＝1/11 -1/29 +1/51 -1/69 +1/91 -1/109 +・・ ＝(π/40)tan(9π/40)

B7＝1/13 -1/27 +1/53 -1/67 +1/93 -1/107 +・・ ＝(π/40)tan(7π/40)

B8＝1/15 -1/25 +1/55 -1/65 +1/95 -1/105 +・・ ＝(π/40)tan(5π/40)

B9＝1/17 -1/23 +1/57 -1/63 +1/97 -1/103 +・・ ＝(π/40)tan(3π/40)

B10＝1/19 -1/21 +1/59 -1/61 +1/99 -1/101 +・・ ＝(π/40)tan(π/40)

　　　B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6 +B7 -B8 +B9 -B10＝π/4＝L(1) となります。

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上記結果から、L(1)＝A1 -A2 +A3 -A4 +A5となっていて、『L(1)⇒L(1)５分割の分身』がまずわかります。これは（その２８）で見たL(1)分割そのものであり当然の結果です。

　次に、５分割の分身は、次のようにそれぞれ２個に分裂（分解）して１０分割の分身になっています。

　 A1＝B1 -B10　-----�@

　 A2＝B2 -B9　 -----�A

　 A3＝B3 -B8　 -----�B

　 A4＝B4 -B7　 -----�C

　 A5＝B5 -B6　 -----�D

　　このように一つの分身が二つに割れるのです。逆の見方をすれば、二つの分身が合わさって上のクラスの一個の分身になる。

　その割れ方は（その８２）で見たζ(2)「５分割の分身⇒１０分割の分身」の割れ方と同じです（違いは、右辺で足すか引くかの違いだけです）。（その８２）のζ(2)「５分割分身⇒１０分割分身」と比較すると、その類似性に驚きます。

　このような結果になるのも、ゼータが美しい対称性をもっているからです。これらは対称性から湧き出てきています。

　�@〜�Dに関し、級数での成立は簡単にわかります（眺めるだけでわかる）。また右辺値（特殊値）での成立も、次のようにすれば容易に確かめられる。

　三角関数において次式が成り立つ。

　　tan(π/2 -2x)＝(1/2)｛tan(π/2 -x)- tan(x)｝

　　xにπ/40, 3π/40, 5π/40, 7π/40, 9π/40を代入することで、�@〜�Dの特殊値での成立を確かめることができます。

　以上より、L(1)分岐構造全体のうち『L(1)⇒L(1)５分割の分身』と『L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身』の成立が確認できました。

以上。（杉岡幹生）

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