ここではL(1)３分割の分身が６分割の分身に分解する場合等を調べます。

　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

L(1)が分解する全体の様子は次のようになります。１個の分身が倍の２個に割れていきます（分解する）。今回はその中の『L(1)⇒L(1)３分割の分身』と『L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身』の様子を見ます。

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※　　　　　＜L(1)分解の全体の様子＞

　L(1)⇒L(1)２分割の分身⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身⇒L(1)４０分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身⇒L(1)２８分割の分身⇒L(1)５６分割の分身⇒・・・

　このように、一つの分身が２つに（倍に）分解する。素数を起点として倍々ゲームで無限に分解（分岐）していく。逆に無限の彼方から見れば、（先頭行を例にとると）・・・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒L(1)などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっている。

（注記）

　L(1)⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・なども当然成り立ちますが、略しました。

理由は、前者は上の全体の様子での１行目に含まれており、後者は２行目に含まれていて、表示する必要がないからです（冗長になるので略）。素数のケースだけ書けば十分です。

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　それでは、１分割分身が３分割分身に、３分割分身が６分割分身に分解する様子を見ることにします。３分割は（その２８）、６分割は（その２１）の結果を利用します。

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　　　＜３分割は（その２８）、６分割は（その２１）から抜粋＞

■L(1)１分割

　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

■L(1)３分割

A1＝ 1 -1/11 +1/13 -1/23 +1/25 -1/35 +・・ ＝(π/12)tan(5π/12)

A2＝1/3 -1/9 +1/15 -1/21 +1/27 -1/33 +・・＝(π/12)tan(3π/12)

A3＝1/5 -1/7 +1/17 -1/19 +1/29 -1/31 +・・＝(π/12)tan(π/12)

　　　A1 -A2 +A3＝π/4＝L(1) となります。

■L(1)６分割

　B1＝ 1 -1/23 +1/25 -1/47 +1/49 -1/71 +・・ ＝(π/24)tan(11π/24)

　B2＝1/3 -1/21 +1/27 -1/45 +1/51 -1/69 +・・＝(π/24)tan(9π/24)

　B3＝1/5 -1/19 +1/29 -1/43 +1/53 -1/67 +・・＝(π/24)tan(7π/24)

　B4＝1/7 -1/17 +1/31 -1/41 +1/55 -1/65 +・・ ＝(π/24)tan(5π/24)

　B5＝1/9 -1/15 +1/33 -1/39 +1/57 -1/63 +・・ ＝(π/24)tan(3π/24)

　B6＝1/11 -1/13 +1/35 -1/37 +1/59 -1/61 +・・ ＝(π/24)tan(π/24)

　　　B1 -B2 +B3 -B4 +B5 -B6＝π/4＝L(1)となります。

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上記結果から、L(1)＝A1 -A2 +A3　であり『L(1)⇒L(1)３分割の分身』がまずわかります。これは（その２８）で見たL(1)３分割そのものであり当然の結果です。

　次に、３分割の分身は次のようにそれぞれ２個に分裂（分解）して６分割の分身になります。

　 A1＝B1 -B6　 -----�@

　 A2＝B2 -B5　 -----�A

　 A3＝B3 -B4　 -----�B

　　このように一つの分身が二つに割れるのです。逆から見れば、二つの分身が合わさって上のクラスの一個の分身になったともいえる。

　その割れ方は（その７９）で見たζ(2)「３分割の分身⇒６分割の分身」の割れ方と同じです（違いは、右辺で足すか引くかの違いだけです）。（その７９）のζ(2)「３分割分身⇒６分割分身」と比較すると、その類似性に驚きます。

　�@〜�Bに関し、級数での成立は簡単にわかります（眺めるだけでわかる）。また右辺値（特殊値）での成立も、次のようにすれば容易に確かめられる。

　三角関数において次式が成り立つ。

　　tan(π/2 -2x)＝(1/2)｛tan(π/2 -x)- tan(x)｝

　　xにπ/24, 3π/24, 5π/24を代入することで、�@〜�Bの特殊値での成立を確かめることができます。

　以上より、L(1)分身の分岐構造全体のうち『L(1)⇒L(1)３分割の分身』と『L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身』の成立が確認できました。

以上。（杉岡幹生）

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