ここでは、L(1)４分割の分身が８分割の分身に割れる（分解する）様子を観察します。

　　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝π/4

　L(1)が分解していく全体の様子は次のようになっています。１個の分身に着目すると倍の２個に割れる。今回は、その中の『L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身』の様子を見ます。

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

　L(1)⇒L(1)２分割の分身⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)３分割の分身⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)５分割の分身⇒L(1)１０分割の分身⇒L(1)２０分割の分身⇒L(1)４０分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)７分割の分身⇒L(1)１４分割の分身⇒L(1)２８分割の分身⇒L(1)５６分割の分身⇒・・・

　　　・・・・・・・・・・・・・・

　このように、一つの分身が２つに（倍に）分解する。素数を起点として倍々ゲームで無限に分解（分岐）していく。

逆に無限の彼方から見れば、（先頭行を一例にとると）・・・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒L(1)などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっている。

（注記）

　L(1)⇒L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身⇒L(1)１６分割の分身⇒・・・

　L(1)⇒L(1)６分割の分身⇒L(1)１２分割の分身⇒L(1)２４分割の分身⇒・・・

なども当然成り立ちますが、略します。理由は、前者は１行目の途中からに含まれており、後者は２行目に含まれていて、これらを表示する必要はないからです（冗長になるので略）。すなわち”素数のケースだけ書けば十分”。

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

　それでは、『L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身』の分解の様子を見ることにします。（その１４）での結果を利用します。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　＜（その１４）の結果を抜粋＞

■L(1)４分割

　B1＝ 1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +・・ ＝(π/16)tan(7π/16)

　B2＝1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +・・＝(π/16)tan(5π/16)

　B3＝1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +・・＝(π/16)tan(3π/16)

　B4＝1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +・・ ＝(π/16)tan(π/16)

　　　　B1 -B2 +B3 -B4＝π/4＝π/4 ＝L(1)となります。tan()を計算した結果は、以下の通り。

　　tan(7π/16)＝1 +√2 +√(4+2√2)、tan(5π/16)＝-1 +√2 +√(4-2√2)

　　tan(3π/16)＝1 -√2 +√(4-2√2)、tan(π/16) ＝-1 -√2 +√(4+2√2)

■L(1)８分割

　C1＝ 1 -1/31 +1/33 -1/63 +1/65 -1/95 +・・ ＝(π/32)tan(15π/32)

　C2＝1/3 -1/29 +1/35 -1/61 +1/67 -1/93 +・・ ＝(π/32)tan(13π/32)

　C3＝1/5 -1/27 +1/37 -1/59 +1/69 -1/91 +・・ ＝(π/32)tan(11π/32)

　C4＝1/7 -1/25 +1/39 -1/57 +1/71 -1/89 +・・ ＝(π/32)tan(9π/32)

　C5＝1/9 -1/23 +1/41 -1/55 +1/73 -1/87 +・・ ＝(π/32)tan(7π/32)

　C6＝1/11 -1/21 +1/43 -1/53 +1/75 -1/85 +・・＝(π/32)tan(5π/32)

　C7＝1/13 -1/19 +1/45 -1/51 +1/77 -1/83 +・・＝(π/32)tan(3π/32)

　C8＝1/15 -1/17 +1/47 -1/49 +1/79 -1/81 +・・＝(π/32)tan(π/32)

　　　tan()を計算した結果は、以下の通り。

　　tan(15π/32)＝ 1 +√2 +√(4+2√2) +√{8+4√2+2√(20+14√2)}

　　tan(13π/32)＝-1 +√2 +√(4-2√2) +√{8-4√2+2√(20-14√2)}

　　tan(11π/32)＝ 1 -√2 +√(4-2√2) +√{8-4√2-2√(20-14√2)}

　　tan(9π/32) ＝-1 -√2 +√(4+2√2) +√{8+4√2-2√(20+14√2)}

　　tan(7π/32) ＝ 1 +√2 -√(4+2√2) +√{8+4√2-2√(20+14√2)}

　　tan(5π/32) ＝-1 +√2 -√(4-2√2) +√{8-4√2-2√(20-14√2)}

　　tan(3π/32) ＝ 1 -√2 -√(4-2√2) +√{8-4√2+2√(20-14√2)}

　　tan(π/32) ＝-1 -√2 -√(4+2√2) +√{8+4√2+2√(20+14√2)}

　　　　C1 -C2 +C3 -C4 +C5 -C6 +C7 -C8＝π/4＝L(1) となります。√はきれいに相殺されて消えます。 綺麗な構造です！

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

上記結果から、４分割の分身(B1,B2B3,B4)は、次のようにそれぞれ２個に分裂（分解）して８分割の分身になっていることがわかります。

　 B1＝C1 -C8

　 B2＝C2 -C7

　 B3＝C3 -C6

　 B4＝C4 -C5

　このように一つの分身が二つに割れる（分解する）のです。その割れ方は（その７８）で見たζ(2)の４分割の場合と同じです（違いは右辺で足すか引くかの違いのみ）。綺麗な規則に従って分解していることに注目してください。

　級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。

右辺値での成立も（級数の成立から自明ですが）、簡単に確かめられます。上記で三角関数を√の値で示しているので成立を確認してください。右辺値でも成立していますね。

　以上より、L(1)分身の全体の分岐構造のうち『L(1)４分割の分身⇒L(1)８分割の分身』の成立が確認できました。

以上。（杉岡幹生）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝