ζ(2)の分岐構造の研究は前回でいったん終了して、今回からL(1)の分岐構造を見ていきます。

　　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・・＝π/4　----�@

　ライプニッツはこの式に神秘を感じ、外交官から数学者への道を選んだとか言われる式です。

　神秘的かつシンプルな式ですが。この裏側にはじつは壮大な物語が隠されています。その物語はζ(2)で見たものとまったく同じ枝分かれ構造です。�@は分身たちが緻密に織りあげてきた最終到達地点とわかりました。単発的な�@の地下に深い構造が隠されていたのです。

　ゼータの分身たちが二つに無限に枝分かれしていく様子は圧巻です。それを逆方向から眺めれば、無限の彼方から綺麗な織物が織りあがってきて最終的にL(1)＝π/4に終着する。

　具体的には、次のようになっています。

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　L(1)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

　４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。

　８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。

　　・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　L(1)は、３分割の分身たちに分かれる。

　３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。

　６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。

　　・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　L(1)は、５分割の分身たちに分かれる。

　５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。

　１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。

　　・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　ζ(2)は、７分割の分身たちに分かれる。

　７分割の分身たちは、１４分割の分身たちに分かれる。

　１４分割の分身たちは、２８分割の分身たちに分かれる。

　　・・・・・

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　あるいは・・と、素数を起点として、無限に倍々ゲームで分岐していく。逆に無限の彼方から見れば、・・⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒L(1)などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっています。

（注記）例えば「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。」は、精密にいうと「L(1)３分割の分身たちは、L(1)６分割の分身たちに分かれる。」ということです。略して書いているので、注意してください。

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　では、今回は１分割、２分割の分身たちの分岐構造を具体的に見ることにします。準備としてまず（その１４）での結果を利用します。

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　　　＜（その１４）の結果を抜粋＞

■L(1)１分割

　　L(1)＝1/1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -1/15 +1/17 - ・・＝(π/4)tan(π/4) ＝π/4

■L(1)２分割

　A1＝ 1 - 1/7 +1/9 -1/15 + 1/17 -1/23 +・・ ＝(π/8)tan(3π/8)

　A2＝1/3 -1/5 +1/11 -1/13 + 1/19 -1/21 +・・＝(π/8)tan(π/8)

　 　A1 -A2＝π/4＝L(1) です。tan()を計算した結果は、以下の通り。

　　　tan(3π/8)＝1 +√2、tan(π/8)＝ -1 +√2

■L(1)４分割

　B1＝ 1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +・・ ＝(π/16)tan(7π/16)

　B2＝1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +・・＝(π/16)tan(5π/16)

　B3＝1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +・・＝(π/16)tan(3π/16)

　B4＝1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +・・ ＝(π/16)tan(π/16)

　　B1 -B2 +B3 -B4＝π/4＝L(1)となっています。tan()を計算した結果は、以下の通り。

　　tan(7π/16)＝1 +√2 +√(4+2√2)、tan(5π/16)＝-1 +√2 +√(4-2√2)

　　tan(3π/16)＝1 -√2 +√(4-2√2)、tan(π/16) ＝-1 -√2 +√(4+2√2)

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　上記の結果から、L(1)＝A1 -A2　であり「L(1)は、２分割の分身たちに分かれる。」がまずわかります。これは、これまでL(1)分割で見てきたもので当たり前ですが。

　次に、

　 A1＝B1 -B4

　A2＝B2 -B3

となっていることにお気づきでしょうか。まさに一つの分身が二つに分かれていることがわかります！　

　級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。

　右辺値での成立も（級数の成立から自明ですが）、簡単に確かめられます。上記で三角関数を√の値でも示しているので成立をご確認ください。右辺値でも成立していますね。

　よって「２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。」となっていることがわかりました。

　以上より、今回は、冒頭で述べた分身の分岐構造のうち

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　L(1)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

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までが確かめられました。

以上。（杉岡幹生）

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