ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝ｃ

の四面体の体積は，１４４Ｖ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）

　＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

　＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

で与えられる．

　空間充填四面体は

　　ｃ^2＝３（ｂ^2−ａ^2）

を満たす．ａ^2＝１として，

［Ｑ］空間充填四面体の体積の最大値・最小値を求めよ．

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１４４Ｖ^2＝ｃ^2（１−ｃ^2）＋ｂ^4（３−２ｂ^2＋ｃ^2）＋（−１＋ｃ^2）

＝−（ｃ^2−１）^2＋ｂ^4（３−２ｂ^2＋ｃ^2）

ｃ^2＝３ｂ^2−３を代入すると，Ｂ＝ｂ^2

１４４Ｖ^2＝−（３ｂ^2−４）^2＋ｂ^6＝Ｂ^3−９Ｂ^2＋２４Ｂ−１６

＝（Ｂ−１）（Ｂ−４）^2

ａ^2＝１，ｂ^2＝１，ｃ^2＝０のとき体積０

ａ^2＝１，ｂ^2＝４，ｃ^2＝９のとき体積０

Ｂで微分すると

３Ｂ^2−１８Ｂ＋２４＝３（Ｂ^2−６Ｂ＋８）

Ｂ^2−６Ｂ＋８＝（Ｂ−２）（Ｂ−４）＝０

［１］Ｂ＝２，ｃ^2＝３（ｂ^2−ａ^2）

ａ＝１，ｂ＝√２，ｃ＝√３のとき，体積は最大値１／６をとる

［２］Ｂ＝４，ｃ^2＝３（ｂ^2−ａ^2）

ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝３のとき，三角形にならない→体積０

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　これは空間充填性を保ったままという条件である．同じ三角柱に内接するという条件ではない．

ａ^2＝１，ｃ^2＝１とすると，空間充填性を満たすのはｂ^2＝４／３のみである．

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