ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ａ

ＡＣ＝ＢＤ＝ｂ

ＡＤ＝ｃ

の四面体の体積は，１４４Ｖ^2

＝ａ^2ｃ^2（ａ^2−ｃ^2）

　＋ｂ^4（３ａ^2−２ｂ^2＋ｃ^2）

　＋ａ^4（−ａ^2＋ｃ^2）

で与えられる．

　ａ^2＝１として，

［Ｑ］等面四面体の体積の最大値・最小値を求めよ．

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　等面多面体はａ＝ｃを満たさなければならない．したがって，

１４４Ｖ^2＝２ｂ^4（２−ｂ^2）

Ｂ＝ｂ^2

１４４Ｖ^2＝２Ｂ^2（２−Ｂ）

Ｂで微分すると

８Ｂ−６Ｂ^2＝２Ｂ（４−３Ｂ）＝０

Ｂ＝４／３

ａ＝１，ｂ＝２／√３，ｃ＝１のとき，体積は最大値

　１４４Ｖ^2＝２・１６／９（２−４／３）＝２・１６／９・２／３

　Ｖ^2＝（２／３）^2／２７，Ｖ＝２／９√３をとる．

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［雑感］解は正四面体ではなく，サマーヴィルの等面四面体（ａ^2，b^2，ｃ^2）＝（３，４，３）である．

　空間充填四面体はｃ^2＝３（ｂ^2−ａ^2）を満たさなければならないことから，サマーヴィル四面体は唯一の空間充填等面四面体でもあることが理解される．

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