■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その８３，杉岡幹生）
今回は、下記のζ(2)の分岐構造のうち『１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。』を確かめます。
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ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。
２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。
４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。
８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。・・・・・・
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あるいは、次のようにもなっている。
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ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。
３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。
６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。・・・・・・
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あるいは、次のようにもなっている。
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ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。
５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。
１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。・・・・・
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あるいは・・と、素数を起点として無限に倍々ゲームで分岐していく。逆に無限の彼方から見れば・・⇒３２分身⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒ζ(2) などとなっている。
厳密には予想ですが、こんなふうになっています。
（注記）例えば「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。」は、精密にいうと「ζ(2)３分割の分身たちは、ζ(2)６分割の分身たちに分かれる。」ということです。略して書いているので、ご注意ください。
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それでは、ζ(2)１０分割分身たちの分岐構造を見ることにします。準備としてZ(2)（つまりζ(2)）の１０分割を（その６３）付録から抜粋しました。２０分割は、下記で初めて示しました。分身たちの壮大な秩序を味わってください。
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＜ Z(2)１０分割は（その６３）から抜粋 ＞
Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8
Z(2)は本質的にζ(2)に等しいものです。
■Z(2)１０分割
B1 ＝ 1 +1/39^2 +1/41^2 +1/79^2 +1/81^2 +1/119^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(19π/40)}^2
B2 ＝1/3^2 +1/37^2 +1/43^2 +1/77^2 +1/83^2 +1/117^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(17π/40)}^2
B3 ＝1/5^2 +1/35^2 +1/45^2 +1/75^2 +1/85^2 +1/115^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(15π/40)}^2
B4 ＝1/7^2 +1/33^2 +1/47^2 +1/73^2 +1/87^2 +1/113^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(13π/40)}^2
B5 ＝1/9^2 +1/31^2 +1/49^2 +1/71^2 +1/89^2 +1/111^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(11π/40)}^2
B6 ＝1/11^2 +1/29^2 +1/51^2 +1/69^2 +1/91^2 +1/109^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(9π/40)}^2
B7 ＝1/13^2 +1/27^2 +1/53^2 +1/67^2 +1/93^2 +1/107^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(7π/40)}^2
B8 ＝1/15^2 +1/25^2 +1/55^2 +1/65^2 +1/95^2 +1/105^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(5π/40)}^2
B9 ＝1/17^2 +1/23^2 +1/57^2 +1/63^2 +1/97^2 +1/103^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(3π/40)}^2
B10＝1/19^2 +1/21^2 +1/59^2 +1/61^2 +1/99^2 +1/101^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(π/40)}^2
B1 +B2 +B3 +B4 +B5 +B6 +B7 +B8 +B9 +B10＝Z(2)＝π^2/8となる。
■Z(2)２０分割
C1 ＝ 1 +1/79^2 +1/81^2 +1/159^2 +1/161^2 +1/239^2 + ・・・・ ＝(π/80)^2/{cos(39π/80)}^2
C2 ＝ 1/3^2 +1/77^2 +1/83^2 +1/157^2 +1/163^2 +1/237^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(37π/80)}^2
C3 ＝ 1/5^2 +1/75^2 +1/85^2 +1/155^2 +1/165^2 +1/235^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(35π/80)}^2
C4 ＝ 1/7^2 +1/73^2 +1/87^2 +1/153^2 +1/167^2 +1/233^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(33π/80)}^2
C5 ＝ 1/9^2 +1/71^2 +1/89^2 +1/151^2 +1/169^2 +1/231^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(31π/80)}^2
C6 ＝ 1/11^2 +1/69^2 +1/91^2 +1/149^2 +1/171^2 +1/229^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(29π/80)}^2
C7 ＝ 1/13^2 +1/67^2 +1/93^2 +1/147^2 +1/173^2 +1/227^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(27π/80)}^2
C8 ＝ 1/15^2 +1/65^2 +1/95^2 +1/145^2 +1/175^2 +1/225^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(25π/80)}^2
C9 ＝ 1/17^2 +1/63^2 +1/97^2 +1/143^2 +1/177^2 +1/223^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(23π/80)}^2
C10＝ 1/19^2 +1/61^2 +1/99^2 +1/141^2 +1/179^2 +1/221^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(21π/80)}^2
C11＝1/21^2 +1/59^2 +1/101^2 +1/139^2 +1/181^2 +1/219^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(19π/80)}^2
C12＝1/23^2 +1/57^2 +1/103^2 +1/137^2 +1/183^2 +1/217^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(17π/80)}^2
C13＝1/25^2 +1/55^2 +1/105^2 +1/135^2 +1/185^2 +1/215^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(15π/80)}^2
C14＝1/27^2 +1/53^2 +1/107^2 +1/133^2 +1/187^2 +1/213^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(13π/80)}^2
C15＝1/29^2 +1/51^2 +1/109^2 +1/131^2 +1/189^2 +1/211^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(11π/80)}^2
C16＝1/31^2 +1/49^2 +1/111^2 +1/129^2 +1/191^2 +1/209^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(9π/80)}^2
C17＝1/33^2 +1/47^2 +1/113^2 +1/127^2 +1/193^2 +1/207^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(7π/80)}^2
C18＝1/35^2 +1/45^2 +1/115^2 +1/125^2 +1/195^2 +1/205^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(5π/80)}^2
C19＝1/37^2 +1/43^2 +1/117^2 +1/123^2 +1/197^2 +1/203^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(3π/80)}^2
C20＝1/39^2 +1/41^2 +1/119^2 +1/121^2 +1/199^2 +1/201^2 + ・・ ＝(π/80)^2/{cos(π/80)}^2
C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8 +C9 +C10 +C11 +C12 +C13 +C14 +C15 +C16 +C17 +C18 +C19 +C20＝Z(2)＝π^2/8となる。
念のためExcelマクロでも上記全式C1～C20の級数が右辺値に収束することを確認しました。この２０分割の導出方法は以下の通りです。
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２０分割の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を微分した式①を利用します。
1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・＝(π/(4x))tan(πx/2)
上を１回微分すると次式が得られます。
1/(1^2-x^2)^2 +1/(3^2-x^2)^2 +1/(5^2-x^2)^2 +・・＝(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2 + Others(x) -----①
ここで右辺のOthers(x)は、Others(x)＝-{π/(8x^3)}tan(πx/2)ですが、無視してよい個所なのでOthers(x)としました。
この式のxに特定の値を代入することで、次のようにZ(2)の分割級数（分身たち）が求まります。
①のxに値39/40を代入すると、C1が得られる。
①のxに値37/40を代入すると、C2が得られる。
①のxに値35/40を代入すると、C3が得られる。
①のxに値33/40を代入すると、C4が得られる。
①のxに値31/40を代入すると、C5が得られる。
①のxに値29/40を代入すると、C6が得られる。
①のxに値27/40を代入すると、C7が得られる。
①のxに値25/40を代入すると、C8が得られる。
①のxに値23/40を代入すると、C9が得られる。
①のxに値21/40を代入すると、C10が得られる。
①のxに値19/40を代入すると、C11が得られる。
①のxに値17/40を代入すると、C12が得られる。
①のxに値15/40を代入すると、C13が得られる。
①のxに値13/40を代入すると、C14が得られる。
①のxに値11/40を代入すると、C15が得られる。
①のxに値 9/40を代入すると、C16が得られる。
①のxに値 7/40を代入すると、C17が得られる。
①のxに値 5/40を代入すると、C18が得られる。
①のxに値 3/40を代入すると、C19が得られる。
①のxに値 1/40を代入すると、C20が得られる。
注記：左辺はZ(2)分割級数だけを拾い、右辺はそれに対応する(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2の値だけを拾います（すなわち、左辺ではZ(2)分割級数以外の級数を無視し、右辺ではOthers(x)の値は無視する。それでOK）。
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上記の１０分割と２０分割の結果から「１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる」ことが言えるのですが、見てみましょう。
どうなっているかというと、次のようになっているのです。
B1＝C1 +C20 ----①
B2＝C2 +C19 ----②
B3＝C3 +C18 ----③
B4＝C4 +C17 ----④
B5＝C5 +C16 ----⑤
B6＝C6 +C15 ----⑥
B7＝C7 +C14 ----⑦
B8＝C8 +C13 ----⑧
B9＝C9 +C12 ----⑨
B10＝C10 +C11 ----⑩
まさに”分身が二つに分かれている”ことがわかります！ 級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。
右辺値での成立も（級数の成立から自明ではありますが）、次のようにすれば容易に確かめられる。
三角関数において次式が成り立つ。
1/{cos(π/2 -2x)}^2 ＝(1/4)[1/{cos(π/2 -x)}^2 +1/{cos(x)}^2]
このxにπ/80、3π/80、5π/80、7π/80、9π/80、11π/80、13π/80、15π/80、17π/80、19π/80を代入することで、それぞれ①～⑩の右辺値での成立を確かめることができます。
以上より『１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。』が確認できました。
これまでに確認できたケースをまとめておきます。
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ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。
２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。
４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。
８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。
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ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。
３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。
６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。
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ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。
５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。
１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。
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以上。（杉岡幹生）
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