今回は、下記のζ(2)の分岐構造のうち『ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。』、『５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。』を確かめます。

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　ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

　４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。

　８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。・・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。

　３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。

　６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。・・・・・・

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　あるいは、次のようにもなっている。

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　ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。

　５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。

　１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。・・・・・

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　あるいは・・と、素数を起点として無限に倍々ゲームで分岐していく。逆に無限の彼方から見れば・・⇒３２分身⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒ζ(2) などとなっている。

　厳密には予想ですが、こんなふうになっています。

（注記）例えば「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。」は、精密にいうと「ζ(2)３分割の分身たちは、ζ(2)６分割の分身たちに分かれる。」ということです。略して書いているので、ご注意ください。

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それでは今回は、ζ(2)とζ(2)５分割分身たちの分岐構造を見ることにします。準備としてZ(2)（つまりζ(2)）５分割、１０分割の結果を、（その３１）と（その６３）付録から抜粋して示します。

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　＜ （その３１）,（その６３）から抜粋 ＞

　　Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8

　　　Z(2)は本質的にζ(2)に等しいものです。

■Z(2)５分割

　A1＝ 1 + 1/19^2 +1/21^2 +1/39^2 + 1/41^2 +1/59^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(9π/20)}^2

　A2＝1/3^2 +1/17^2 +1/23^2 +1/37^2 + 1/43^2 +1/57^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(7π/20)}^2

　A3＝1/5^2 +1/15^2 +1/25^2 +1/35^2 + 1/45^2 +1/55^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(5π/20)}^2

　A4＝1/7^2 +1/13^2 +1/27^2 +1/33^2 + 1/47^2 +1/53^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(3π/20)}^2

　A5＝1/9^2 +1/11^2 +1/29^2 +1/31^2 + 1/49^2 +1/51^2 +・・＝(π/20)^2 /{cos(π/20)}^2

　　　A1 +A2 +A3 +A4 +A5＝Z(2)＝π^2/8 となる。

■Z(2)１０分割

　B1 ＝ 1 +1/39^2 +1/41^2 +1/79^2 +1/81^2 +1/119^2 + ・・ 　＝(π/40)^2/{cos(19π/40)}^2

　B2 ＝1/3^2 +1/37^2 +1/43^2 +1/77^2 +1/83^2 +1/117^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(17π/40)}^2

　B3 ＝1/5^2 +1/35^2 +1/45^2 +1/75^2 +1/85^2 +1/115^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(15π/40)}^2

　B4 ＝1/7^2 +1/33^2 +1/47^2 +1/73^2 +1/87^2 +1/113^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(13π/40)}^2

　B5 ＝1/9^2 +1/31^2 +1/49^2 +1/71^2 +1/89^2 +1/111^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(11π/40)}^2

　B6 ＝1/11^2 +1/29^2 +1/51^2 +1/69^2 +1/91^2 +1/109^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(9π/40)}^2

　B7 ＝1/13^2 +1/27^2 +1/53^2 +1/67^2 +1/93^2 +1/107^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(7π/40)}^2

　B8 ＝1/15^2 +1/25^2 +1/55^2 +1/65^2 +1/95^2 +1/105^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(5π/40)}^2

　B9 ＝1/17^2 +1/23^2 +1/57^2 +1/63^2 +1/97^2 +1/103^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(3π/40)}^2

　B10＝1/19^2 +1/21^2 +1/59^2 +1/61^2 +1/99^2 +1/101^2 + ・・ ＝(π/40)^2/{cos(π/40)}^2

　　　B1 +B2 +B3 +B4 +B5 +B6 +B7 +B8 +B9 +B10＝Z(2)＝π^2/8となる。

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　上記５分割からまず「Z(2)は（つまりζ(2)は）、５分割の分身たちに分かれる」ことが言えます。これはこれまで見てきたゼータ分割そのものであり、当然成立しています。OKです。

　さらに５分割と１０分割の結果から「５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる」ことが言えるのですが、見てみましょう。　

　どうなっているかというと、次のようになっているのです。

　 A1＝B1 +B10　　----�@

　 A2＝B2 +B9 　　----�A

　 A3＝B3 +B8 　　----�B

　 A4＝B4 +B7 　　----�C

　 A5＝B5 +B6 　　----�D

　まさに”分身が二つに分かれている”ことが見てとれます！　級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。

　また右辺値での成立も（級数の成立から自明ではありますが）、次のようにすれば容易に確かめられる。

三角関数において次式が成り立つ。

　1/{cos(π/2 -2x)}^2 ＝(1/4)[1/{cos(π/2 -x)}^2 +1/{cos(x)}^2]

このxにπ/40、3π/40、5π/40、7π/40、9π/40を代入することで、それぞれ�@〜�Dの右辺値での成立を確かめることができます。

　以上より『ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。』、『５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。』が確認できました。

　これまでに確認できたのケースをまとめておきます。

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　ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。

　２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。

　４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。

　８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。

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　ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。

　３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。

　６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。

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　ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。

　５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。

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以上。（杉岡幹生）

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