■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その８１，杉岡幹生）
今回は、下記のζ(2)の分岐構造のうち『８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。』を確かめます。これは（その７８）で略してしまったものですが、やはりここで示しておきます。
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ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。
２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。
４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。
８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。・・・・・・
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あるいは、次のようにもなっている。
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ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。
３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。
６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。・・・・・・
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あるいは、次のようにもなっている。
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ζ(2)は、５分割の分身たちに分かれる。
５分割の分身たちは、１０分割の分身たちに分かれる。
１０分割の分身たちは、２０分割の分身たちに分かれる。・・・・・
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あるいは・・と、素数を起点として無限に倍々ゲームで分岐していく。逆に無限の彼方から見れば・・⇒３２分身⇒１６分身⇒８分身⇒４分身⇒２分身⇒ζ(2) などとなっている。
厳密には予想ですが、こんなふうになっています。
（注記）例えば「３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。」は、精密にいうと「ζ(2)３分割の分身たちは、ζ(2)６分割の分身たちに分かれる。」ということです。略して書いているので、ご注意ください。
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それでは、今回は８分割の分岐構造を見ることにします。準備としてまず（その１５）のZ(2)８分割の結果と、Z(2)１６分割の結果を示します。
Z(2)１６分割（つまりζ(2)１６分割）は、ここで初めて示しました。綺麗な秩序を味わってください。
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＜ Z(2)８分割は（その１５）から抜粋 ＞
Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8
Z(2)は本質的にζ(2)に等しいものです。
■Z(2)８分割
C1 ＝ 1 +1/31^2 +1/33^2 +1/63^2 +1/65^2 +1/95^2 + ・・ ＝(π/32)^2 /{cos(15π/32)}^2
C2＝1/3^2 +1/29^2 +1/35^2 +1/61^2 +1/67^2 +1/93^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(13π/32)}^2
C3＝1/5^2 +1/27^2 +1/37^2 +1/59^2 +1/69^2 +1/91^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(11π/32)}^2
C4＝1/7^2 +1/25^2 +1/39^2 +1/57^2 +1/71^2 +1/89^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(9π/32)}^2
C5＝1/9^2 + 1/23^2 +1/41^2 +1/55^2 +1/73^2 +1/87^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(7π/32)}^2
C6＝1/11^2 +1/21^2 +1/43^2 +1/53^2 +1/75^2 +1/85^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(5π/32)}^2
C7＝1/13^2 +1/19^2 +1/45^2 +1/51^2 +1/77^2 +1/83^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(3π/32)}^2
C8＝1/15^2 +1/17^2 +1/47^2 +1/49^2 +1/79^2 +1/81^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(π/32)}^2
C1 +C2 +C3 +C4 +C5 +C6 +C7 +C8＝Z(2)＝π^2/8 となる。
■Z(2)１６分割
D1 ＝ 1 +1/63^2 +1/65^2 +1/127^2 +1/129^2 +1/191^2 + ・・ ＝(π/64)^2 /{cos(31π/64)}^2
D2＝1/3^2 +1/61^2 +1/67^2 +1/125^2 +1/131^2 +1/189^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(29π/64)}^2
D3＝1/5^2 +1/59^2 +1/69^2 +1/123^2 +1/133^2 +1/187^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(27π/64)}^2
D4＝1/7^2 +1/57^2 +1/71^2 +1/121^2 +1/135^2 +1/185^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(25π/64)}^2
D5＝1/9^2 +1/55^2 +1/73^2 +1/119^2 +1/137^2 +1/183^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(23π/64)}^2
D6＝1/11^2 +1/53^2 +1/75^2 +1/117^2 +1/139^2 +1/181^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(21π/64)}^2
D7＝1/13^2 +1/51^2 +1/77^2 +1/115^2 +1/141^2 +1/179^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(19π/64)}^2
D8＝1/15^2 +1/49^2 +1/79^2 +1/113^2 +1/143^2 +1/177^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(17π/64)}^2
D9＝1/17^2 +1/47^2 +1/81^2 +1/111^2 +1/145^2 +1/175^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(15π/64)}^2
D10＝1/19^2 +1/45^2 +1/83^2 +1/109^2 +1/147^2 +1/173^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(13π/64)}^2
D11＝1/21^2 +1/43^2 +1/85^2 +1/107^2 +1/149^2 +1/171^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(11π/64)}^2
D12＝1/23^2 +1/41^2 +1/87^2 +1/105^2 +1/151^2 +1/169^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(9π/64)}^2
D13＝1/25^2 +1/39^2 +1/89^2 +1/103^2 +1/153^2 +1/167^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(7π/64)}^2
D14＝1/27^2 +1/37^2 +1/91^2 +1/101^2 +1/155^2 +1/165^2 +・・＝(π/64)^2 /{cos(5π/64)}^2
D15＝1/29^2 +1/35^2 +1/93^2 +1/99^2 +1/157^2 +1/163^2 + ・・＝(π/64)^2 /{cos(3π/64)}^2
D16＝1/31^2 +1/33^2 +1/95^2 +1/97^2 +1/159^2 +1/161^2 + ・・＝(π/64)^2 /{cos(π/64)}^2
D1 +D2 +D3 +D4 +D5 +D6 +D7 +D8 +D9 +D10 +D11 +D12 +D13 +D14 +D15 +D16＝Z(2)＝π^2/8 となる。美しい秩序から成り立っていますね！
念のため、Excelマクロでも上記全式D1～D16の級数が右辺値に収束することを確認しました。
導出方法は、いつものタンジェント部分分数展開式に31/32,29/32,27/32,25/32,23/32,21/32,19/32,17/32,15/32,13/32,11/32,9/32,7/32,5/32,3/32,1/32を代入すると、それぞれD1～D16が導出されます。
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上記の結果から「８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる」ことが言えるのですが、見てみましょう。
どうなっているかというと、次のようになっています！
C1＝D1 +D16 ----①
C2＝D2 +D15 ----②
C3＝D3 +D14 ----③
C4＝D4 +D13 ----④
C5＝D5 +D12 ----⑤
C6＝D6 +D11 ----⑥
C7＝D7 +D10 ----⑦
C8＝D8 +D9 ----⑧
きれいな秩序から成り立っています。級数での成立は簡単にわかります（眺めればわかる）。
また右辺値での成立も（級数の成立から自明ではありますが）、次のようにすれば容易に確かめられる。
三角関数において次式が成り立つ。
1/{cos(π/2 -2x)}^2 ＝(1/4)[1/{cos(π/2 -x)}^2 +1/{cos(x)}^2]
このxにπ/64、3π/64、5π/64、7π/64、9π/64、11π/64、13π/64、15π/64を代入することで、①～⑧の右辺値での成立を確かめることができます。
以上より『８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。』が確認できました。
これまでに確認できたのケースをまとめると、次のようになります。
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ζ(2)は、２分割の分身たちに分かれる。
２分割の分身たちは、４分割の分身たちに分かれる。
４分割の分身たちは、８分割の分身たちに分かれる。
８分割の分身たちは、１６分割の分身たちに分かれる。
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ζ(2)は、３分割の分身たちに分かれる。
３分割の分身たちは、６分割の分身たちに分かれる。
６分割の分身たちは、１２分割の分身たちに分かれる。
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以上。（杉岡幹生）
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