［１］２，５を素因数としてもたないレプユニット数

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

の約数となることが知られている．すなわち，２，５を素因数としてもたないすべての自然数ｎは，ある自然数ｌについて１０^k−１の約数となる．

［２］ｐを２，５以外の素数とするとき，ｐが

　　Ｌn＝Ｒ2n／Ｒn＝（１０^2n−１）／（１０^n−１）

　　Ｌk＝１０^k＋１

の素因数となるようなＬkが存在することと，１／ｐの循環桁数が偶数であることは同値であることが知られている．たとえば，４１の循環桁数は奇数→４１は１０^k＋１の素因数とはなりえない．

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　ｐがＬnの素因数ならば

　　１０^n＝−１　　（ｍｏｄｐ）

なので，

　　１０^2n＝１　　（ｍｏｄｐ）

が成り立たなければならない．

　　Ｌ（ｐ）が奇数ならば

　　１０^n＝１　　（ｍｏｄｐ）

となって矛盾．したがって，Ｌ（ｐ）は偶数でなければならない．

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　なお，フェルマーの小定理により

　　１０^(p-1)＝１　　（ｍｏｄｐ）

より，ｐが２，５以外の素数のとき，Ｌ（ｐ）はｐ−１の約数であることがいえる．→（その１３）

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