【１】１０を原始根とする素数

　ａは−１でも平方数でもないものとします．ａが素数ｐに対する原始根とは，ａ^1−１，ａ^2−１，・・・，ａ^p-2−１のどれもｐで割り切れなくて，ａ^p-1−１がｐで割り切れるものを指します．

　たとえば，ａ＝１０はｐ＝３の原始根ではなくて，ｐ＝７の原始根です．あるいは同じことですが，

　　１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

のように，１／ｐを１０進法で小数展開したときの循環節の長さがｐ−１となる特別な素数を１０を原始根とする素数といいます．

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【２】アルティンの原始根予想

　　πa（ｘ）／π（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）

すなわち，ａを原始根にもつ素数は無限個存在するという予想は，一般化されたリーマン予想を仮定すれば成立することがわかっています（Hooley,1967）．また，アルティンの原始根予想の関数体版はすでに証明されています．

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