双子素数が無限に多く存在するかどうかは今のところわかっていませんが，双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，

　　πtwin（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2

ただし，ｐを３以上の素数として

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）2）＝１．３２０３・・・

と予想されています．この法則は経験的には正しそうであり，双子素数はたぶん無限組あると信じられています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　素数定理によりｘが近辺の数が素数である確率はおよそ

　　１／ｌｏｇｘ

である．たとえば，素数の平均的な間隔が１００になるのはｅ^100の近辺である．

　ｘ＋２が素数である確率もおよそ

　　１／ｌｏｇｘ

となるから，これらが双子素数となる確率はおよそ

　　１／（ｌｏｇｘ）^2

したがって，ｘ以下の双子素数の組の数はおよそ

　　ｘ／（ｌｏｇｘ）^2

となる．

　それではＣは何を意味しているのだろうか？　じつはｘとｘ＋２が素数となる確率は独立していないので，上の議論を修正しなければならない．そのための補正項がＣとなるのである．任意に選んだ２数がともにｐで割り切れない確率は（１−１／ｐ）^2であるが，２つの数（ｎ，ｎ＋２）は差が２なので，両方ともｐで割り切れない確率は（１−２／ｐ）である．

　よって，奇素数ｐに対しては係数

　　（１−２／ｐ）／（１−１／ｐ）^2＝ｐ（ｐ−２）／（ｐ−１）^2

＝１−１／（ｐ−１）2

素数２に対しては２をかけて補正を行う必要がある．そのための補正係数が双子素数係数

　　Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）2）＝１．３２０３・・・

というわけである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝