今回から、虚2次体Q(√-5)ゼータLC(s)のLC(1)の分割を行ないます。今回はその４分割を示します。

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LC(s)の分割は４分割スタートとなるため、4×nで”4n分割可能”となります。つまり４分割、８分割、１２分割・・ができることになります。

　LC(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)

　　Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・

　の一種であり、次のものです。

　　LC(s)＝1 +1/3^s +1/7^s +1/9^s -/11^s -1/13^s -1/17^s　-1/19^s +・・

　LC(s)は虚2次体Q(√-5)のゼータ関数で、導手N=20を持つ。

　ディリクレ指標χ(n)は、n≡1 or 3 or 7 or 9 mod 20のときχ(n)＝1,　n≡11 or 13 or 17 or 19 mod 20のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。

LC(1)は次の通りです。

　LC(1)＝1 +1/3 +1/7 +1/9 -/11 -1/13 -1/17　-1/19 +1/21 +1/23 +1/27 +1/29 -/31 -1/33 -1/37　-1/39 +・・・＝π/√5 ------�@

　右辺値π/√5は、虚２次体の類数公式から出ます。なお、”LC()”という記号は私が独自に用いているものであり、一般的なものではないので注意してください。

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　それではLC(1)の４分割を示します。※を無視した残りの４つで４分割となります。次のようにL(1)５分割を利用しているため、あえて※を残しました。

■LC(1)４分割

　B1＝ 1 -1/19 +1/21 -1/39 +1/41 -1/59 +・・ ＝(π/20)tan(9π/20)

　B2＝1/3 -1/17 +1/23 -1/37 +1/43 -1/57 +・・＝(π/20)tan(7π/20)

※B3＝1/5 -1/15 +1/25 -1/35 +1/45 -1/55 +・・＝(π/20)tan(5π/20) ⇒無視

　B4＝1/7 -1/13 +1/27 -1/33 +1/47 -1/53 +・・ ＝(π/20)tan(3π/20)

　B5＝1/9 -1/11 +1/29 -1/31 +1/49 -1/51 +・・ ＝(π/20)tan(π/20)

　　B1 +B2 +B4 +B5＝LC(1) となります。上記全式に対しExcelで数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

　 なお、B3を除くB1,B2,B4,B5の右辺のtan()の値は、次の通り。

　tan(9π/20)＝√5 +1 +√(5+2√5)

　tan(7π/20)＝√5 -1 +√(5-2√5)

　tan(3π/20)＝√5 -1 -√(5-2√5)

　tan(π/20) ＝√5 +1 -√(5+2√5)

　　上記B1〜B5はL(1)５分割の分身たちであり、B1 -B2 +B3 -B4 +B5＝L(1)となります。L(1)５分割は既に（その２８）で示しました。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

　xに9/10を代入すると、B1が得られる。

　xに7/10を代入すると、B2が得られる。

　xに5/10を代入すると、B3が得られる。 ⇒ 無視。5/10＝1/2代入であり、L(1)１分割と一致

　xに3/10を代入すると、B4が得られる。

　xに1/10を代入すると、B5が得られる。

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　このようにしてLC(1)の４分割が求まりました。上で言及したようにLC(1)の分身たちは、L(1)５分割の分身たちの内の４つと同じです。

　LC(1)は、L(1)のパーツB1〜B5のうちB1,B2,B4,B5から作られている。まとめて書くと、次のようになります。

　　L(1)＝ B1 -B2 +B3 -B4 +B5

　　LC(1)＝B1 +B2 +B4 +B5

　このようにLC(1)の分身たちは、L(1)の分身たち（の一部）から成っていることがわかります。

　さらに、�@よりLC(1)＝π/√5 ですから、LC(1)の分身たちの特殊値のtan()に着目すると、次式が成り立ちます。

　　(π/20)｛tan(9π/20) +tan(7π/20) +tan(3π/20) +tan(π/20)｝＝π/√5

　単発的なLC(1)＝π/√5 の裏側にこのような構造が潜んでいます。

　これまでの結果を更新しておきます。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8/12分割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

　 LC(s)　虚2次体Q(√-5)ゼータ、導手N＝20　　 ⇒ 4分割可能である。

注記：nは1以上の整数　　以上。（杉岡幹生）

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