＜　分身は分割可能か？　分身は原子的か？＞

　まずこれまで調べてきたＬ(χ,ｓ)の分割の結果を示します。次の通りです。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8/12分割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

　 LB(s)　実2次体Q(√3)ゼータ、 導手N＝12　　　⇒ 4分割可能である。

　注記：nは1以上の整数

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　この結果を眺めているうちに、以下に示す亜流的な分割も含めれば、Ｌ(χ,ｓ)の全ての2次体ゼータは、n分割可能のような気がしてきました。今回はそのことをまず議論し、そして分身の分割を考えてみます。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12898_d7.htm　　-----�@

　例を用いて、説明していきます。上記URLの（その５４）で示した虚2次体Q(√-2)ゼータL2(s)ゼータのL2(1)は、次のものです。

　L2(1)＝1 +1/3 -1/5 -1/7 +1/9 +1/11 -/13 -1/15 +1/17　+1/19 -1/21 -1/23 +・・＝π√2/4

　（その５４）や（その５５）では、このL2(1)は２分割、４分割、６分割、・・と2n分割可能であることを見ました。

　さて、L2(1)の２分割は上記サイトで見た通り、次のようになります。

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■L2(1)２分割

　A1＝ 1 -1/7 +1/9 -1/15 +1/17 -1/23 +・・ ＝(π/8)tan(3π/8)

　A2＝ 1/3 -1/5 +1/11 -1/13 +1/19 -1/21 +・・ ＝(π/8)tan(π/8)

　　　A1 +A2＝L2(1)＝π√2/4 となります。 ここで、tan(3π/8)＝√2 +1，tan(π/8)＝√2 -1

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　L2(1)は何分割可能か？に関して、２分割スタートだから”2×n”で2n分割可能が言え（厳密には予想）、そして「2n分割が最良か」と問いました。

　そして、４分割は次のようになります。これも（その５４）で見たものです。

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■L2(1)４分割

　A1＝ 1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +・・ ＝(π/16)tan(7π/16)

　A2＝ 1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +・・ ＝(π/16)tan(5π/16)

　A3＝ 1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +・・ ＝(π/16)tan(3π/16)

　A4＝ 1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +・・ ＝(π/16)tan(π/16)

　A1 +A2 -A3 -A4＝L2(1)＝π√2/4 となります。なお、tan()を計算した結果は以下の通り。

　tan(7π/16)＝ 1 +√2 +√(4+2√2)

　tan(5π/16)＝-1 +√2 +√(4-2√2)

　tan(3π/16)＝ 1 -√2 +√(4-2√2)

　tan(π/16)＝ -1 -√2 +√(4+2√2)

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　さて、ここでよく考えてみると「A1 +A2」と「-A3」と「-A4」という三つの分身を構成すれば、それで「３分割ができた」ことになります。ちょっといま一つの３分割ですが、次のURLの（その６５）で示した「分割の条件」には合致しているので一応「３分割ができた！」といえます。（他の組み合わせでの３分割、また２分割もできますが）

　http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/13065_r4.htm

　「A1 +A2」は亜分身ともいえるようなものです。なぜなら、明示的な特殊値をもった形で（ここが重要）「A1」と「A2」に簡単に分かれるから！よって一流ではない！？

　さらに（その５５）の６分割からでも、上記と類似の方法で５分割を構成できます（４、３、２分割も構成可能）。

　さらに（その５５）の８分割からでも、上記と類似の方法で７分割を構成できます（６、５、４、３、２分割も構成可能）。

　そして１０分割、１２分割・・と同様の考えを適用していくことで、2以上の任意の整数nに対して、「L2(1)はn分割可能である」となります。

　このような、すこし面白くない”亜流的分割”（亜分割と呼びましょう）を含めればこういうことになってしまいます。

　こんなふうに考えてくると「これはもうこれ以上絶対に分割されない分身だ！」という分身が存在すればそれが”一番りっぱな分身”であると言えます（一流の分身？）。

　そういう分身を”原子分身”と呼ぶことにしましょう。

　さて、上記L2(1)２分割や４分割の分身たちは、はたして原子分身なのでしょうか？この分身たちはこれ以上分割されないのでしょうか？

あるいは、分身は分割され、孫分身を産み、さらにその孫がひ孫分身を産み・・と無間地獄と続く階段が用意されているのか？　（孫やひ孫がある場合、その特殊値が明示的に求まることが条件）。原子分身というものはどこまでいっても存在しないのでしょうか。

　　これは興味ある問題です。

　　この問いを、2次体ゼータ全体に適用して次の問題ができました。

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　[問題]

　　　Ｌ(χ,ｓ)ゼータ（ζ(s)も含む）から分かれた分身（分割級数）は、分割可能か？

　　ただし、まずは明示的な特殊値をもつ場合に限定した問題とする。

　　　はたしてL2(1)４分割の分身A1,A2,A3,A4は、もっと分割できるのか？

　　■L2(1)４分割

　　　A1＝ 1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +・・ ＝(π/16)tan(7π/16)

　　　A2＝ 1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +・・ ＝(π/16)tan(5π/16)

　　　A3＝ 1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +・・ ＝(π/16)tan(3π/16)

　　　A4＝ 1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +・・ ＝(π/16)tan(π/16)

　　　　　　A1 +A2 -A3 -A4＝L2(1)＝π√2/4 となる。

　　　注記：これらはL(1)の分身たちでもある。A1 -A2 +A3 -A4＝L(1)＝π/4である。⇒（その１４）http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12043_z2.htm

　　さらに例えば、次のZ(2)分割（つまりζ(2)２分割）の分身B1,B2は、さらに細かく分割できるのか？

　　　参照（その１５）ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12091_dx.htm

　　■Z(2)２分割

　　　B1＝ 1 + 1/7^2 +1/9^2 +1/15^2 + 1/17^2 +1/23^2 +・・ ＝(π/8)^2 /{cos(3π/8)}^2

　　　B2＝1/3^2 +1/5^2 +1/11^2 +1/13^2 + 1/19^2 +1/21^2 +・・ ＝(π/8)^2 /{cos(π/8)}^2

　　　　　B1 +B2＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝Z(2)＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8である。

　　　1/{cos()}^2の部分を計算した結果は、以下の通り。

　　　　　　1/{cos(3π/8)}^2＝ 4 +2√2 、1/{cos(π/8)}^2 ＝ 4 -2√2

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　　これまではゼータ関数の分割を問題にしてきましたが、ここでは分割されてできた分身の分割を問題にしています。

　答えがYesかNoかで、まったく違った世界が開けます。読者で、解けたよ！という場合はぜひお知らせください。[sugioka_m@mvb.biglobe.ne.jp]

以上。（杉岡幹生）

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