今回から実2次体Q(√3)のLB(s)ゼータの分割を調べます。今回はまずLB(2)の４分割を示します。

　LB(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)

　　Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・

　の一種であり、次のものです。

　　LB(s)＝1 -1/5^s -1/7^s +1/11^s +1/13^s -1/17^s -/19^s +1/23^s +・・

　LB(s)は実2次体Q(√3)のゼータ関数で、導手N=12を持つ。

　ディリクレ指標χ(n)は次の通り。n≡1 or 11 mod 12のときχ(n)＝1,　n≡5 or 7 mod 12のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。よってs＝2のLB(2)は次となる。

　明示的な特殊値のケースのLB(2)、LB(4)、LB(6)・・のうちのLB(2)を代表選手として調べます（それで十分。他も同類の結果となる）。

　LB(2)＝1 -1/5^2 -1/7^2 +1/11^2 +1/13^2 -1/17^2 -/19^2 +1/23^2 +・・＝π^2/(6√3)　-----�@

　右辺値π^2/(6√3)は、2007年にテイラーシステムを使って求めた結果を使いました。http://www5b.biglobe.ne.jp/sugi_m/page157.htm

　上記URLサイトでは、次のようにLB(2)、LB(4)、LB(6)、LB(8)の値を求めている。

　(√3/2)LB(2)＝L(1)(π/3)^1 /1！　　----�A

　(√3/2)LB(4)＝L(3)(π/3)^1 /1！- L(1)(π/3)^3 /3！ ------�B

　(√3/2)LB(6)＝L(5)(π/3)^1 /1！- L(3)(π/3)^3 /3！+ L(1)(π/3)^5 /5！　------�C

　(√3/2)LB(8)＝L(7)(π/3)^1 /1！- L(5)(π/3)^3 /3！+ L(3)(π/3)^5 /5！ - L(1)(π/3)^7 /7！ -----�D

　 　これは今見ても、見事な結果です。

　LB(2n)特殊値は、L(2n+1)特殊値とこんなにも綺麗な関係でつながっていることに驚きます！

　ちなみに、L(1)＝π/4、L(3)＝π^3/32、L(5)＝5π^5/1536、L(7)＝61π^7/184320　ですが、これはよく知られていて有名です。

　�Aから�@のLB(2)＝π^2/(6√3)が出ることは容易にわかります。�A、�B、�Cの右辺を計算してまとめてしまうと、次となります（�Dは略）。

　　LB(2)＝π^2/(6√3)

　　LB(4)＝23π^4/(1296√3)

　　LB(6)＝1681π^6/(933120√3)

　なお、上記で述べたテイラーシステムというのは2006年に開発した、ζ(s)を含むＬ(χ,ｓ)の特殊値を”任意の実数点で”簡単に求めることができる超強力な手法です。

�@の級数の値を求めることなど現代でも難題ですが、それがテイラーシステムを使うと、まったく簡単に求めることができます。上記URLサイトで、読者もぜひその簡単さを味わってください。

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　それではLB(2)の４分割を示します。※は無視して残りの４つで４分割となります。次のようにZ(2)６分割（つまりζ(2)６分割）を利用しているため、あえて※を残しました。

■LB(2)４分割

　A1 ＝ 1 + 1/23^2 +1/25^2 +1/47^2 + 1/49^2 +1/71^2 + ・・ 　 ＝(π/24)^2 /{cos(11π/24)}^2

※A2 ＝ 1/3^2 + 1/21^2 +1/27^2 +1/45^2 + 1/51^2 +1/69^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(9π/24)}^2 ⇒無視

　A3 ＝ 1/5^2 + 1/19^2 +1/29^2 +1/43^2 + 1/53^2 +1/67^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(7π/24)}^2

　A4 ＝ 1/7^2 + 1/17^2 +1/31^2 +1/41^2 + 1/55^2 +1/65^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(5π/24)}^2

※A5 ＝ 1/9^2 + 1/15^2 +1/33^2 +1/39^2 + 1/57^2 +1/63^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(3π/24)}^2 ⇒無視

　A6 ＝1/11^2 + 1/13^2 +1/35^2 +1/37^2 + 1/59^2 +1/61^2 + ・・＝(π/24)^2 /{cos(π/24)}^2

　　A1 -A3 -A4 +A6＝LB(2)＝π^2/(6√3)となります。A1〜A6式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。

　じつは上記A1〜A6は、Z(2)６分割（つまりζ(2)６分割）の分身たちとまったく同じものです！⇒（その６０）の「付録」参照。

　　Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8

　　A1 +A2 +A3 +A4 +A5 +A6＝Z(2)＝π^2/8です。美しいものです。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。

　次のタンジェントの部分分数展開式を微分した式を利用します。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・＝(π/(4x))tan(πx/2)

　上を１回微分して得られる次式を使います。

　1/(1^2-x^2)^2 +1/(3^2-x^2)^2 +1/(5^2-x^2)^2 +・・＝(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2 + Others(x) ---�E

　ここで右辺のOthers(x)は、Others(x)＝-{π/(8x^3)}tan(πx/2)ですが、無視してよい個所なのでOthers(x)としました。

　�Eのxに特定の値を代入することで、次のようにLB(2)の分割級数（分身たち）が求まります。

　�Eのxに値11/12を代入すると、A1が得られる。

　�Eのxに値 9/12を代入すると、A2が得られる。 ⇒無視。9/12＝3/4代入で、これはZ(2)２分割の分身となる。

　�Eのxに値 7/12を代入すると、A3が得られる。

　�Eのxに値 5/12を代入すると、A4が得られる。

　�Eのxに値 3/12を代入すると、A5が得られる。 ⇒無視。3/12＝1/4代入で、これはZ(2)２分割の分身となる。

　�Eのxに値 1/12を代入すると、A6が得られる。

注記：左辺はLB(2)分割級数だけを拾い、右辺はそれに対応する(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2の値だけを拾います（すなわち、左辺ではLB(2)分割級数以外の級数を無視し、右辺ではOthers(x)の値は無視する。それでOK）。

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　LB(2)の４分割が求まりました。

　くり返しますが、LB(2)の分身たちは、Z(2)の６分割（ζ(2)の６分割）の分身たち（の一部）と同じものです。

　LB(2)は、Z(2)の６パーツ（分身）のうちの４パーツを使って作られていることがわかります。まとめると次の通り。

　　Z(2) ＝A1 +A2 +A3 +A4 +A5 +A6

　　LB(2)＝A1 -A3 -A4 +A6

　このようにゼータ関数は分身たちから構成されていきます。これまでの結果を更新しておきます。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8/12分割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

　 LB(s)　実2次体Q(√3)ゼータ、 導手N＝12　　　⇒ 4分割可能である。

　注記：nは1以上の整数　　以上。（杉岡幹生）

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