LE(s)の４分割、８分割を見ましたので、今回はその１２分割を調べます。

LE(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)

　　Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・

の一種であり、次のものです。

　　LE(s)＝1 +1/5^s +1/7^s +1/11^s -/13^s -1/17^s -1/19^s　-1/23^s +・・

　LE(s)は虚2次体Q(√-6)のゼータ関数で、導手N=24を持つ。

　ディリクレ指標χ(n)は、n≡1 or 5 or 7 or 11 mod 24のときχ(n)＝1,　n≡13 or 17 or 19 or 23 mod 24のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。

　s＝1のLE(1)は次となる。右辺値は虚2次体の類数公式からわかります。

　LE(1)＝1 +1/5 +1/7 +1/11 -/13 -1/17 -1/19 -1/23 +1/25 +1/29 +1/31 +1/35 -/37 -1/41 -1/43　-1/47 +・・・＝π/√6 ------�@

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　それでは、LE(1)の１２分割を示します。※は無視して残りの１２個で１２分割となります。L(1)１８分割を利用しているため、あえて※を残しました。

■LE(1)１２分割

　A1＝ 1 -1/71 +1/73 -1/143 +1/145 -1/215 + ・・ ＝(π/72)tan(35π/72)

※A2＝ 1/3 -1/69 +1/75 -1/141 +1/147 -1/213 + ・・ ＝(π/72)tan(33π/72) ⇒無視

　A3＝ 1/5 -1/67 +1/77 -1/139 +1/149 -1/211 + ・・ ＝(π/72)tan(31π/72)

　A4＝ 1/7 -1/65 +1/79 -1/137 +1/151 -1/209 + ・・ ＝(π/72)tan(29π/72)

※A5＝ 1/9 -1/63 +1/81 -1/135 +1/153 -1/207 + ・・ ＝(π/72)tan(27π/72) ⇒無視

　A6＝1/11 -1/61 +1/83 -1/133 +1/155 -1/205 + ・・ ＝(π/72)tan(25π/72)

　A7＝1/13 -1/59 +1/85 -1/131 +1/157 -1/203 + ・・ ＝(π/72)tan(23π/72)

※A8＝1/15 -1/57 +1/87 -1/129 +1/159 -1/201 + ・・ ＝(π/72)tan(21π/72) ⇒無視

　A9＝1/17 -1/55 +1/89 -1/127 +1/161 -1/199 + ・・ ＝(π/72)tan(19π/72)

　A10＝1/19 -1/53 +1/91 -1/125 +1/163 -1/197 + ・・ ＝(π/72)tan(17π/72)

※A11＝1/21 -1/51 +1/93 -1/123 +1/165 -1/195 + ・・ ＝(π/72)tan(15π/72) ⇒無視

　A12＝1/23 -1/49 +1/95 -1/121 +1/167 -1/193 + ・・ ＝(π/72)tan(13π/72)

　A13＝1/25 -1/47 +1/97 -1/119 +1/169 -1/191 + ・・ ＝(π/72)tan(11π/72)

※A14＝1/27 -1/45 +1/99 -1/117 +1/171 -1/189 + ・・ ＝(π/72)tan(9π/72) ⇒無視

　A15＝1/29 -1/43 +1/101 -1/115 +1/173 -1/187 + ・・＝(π/72)tan(7π/72)

　A16＝1/31 -1/41 +1/103 -1/113 +1/175 -1/185 + ・・＝(π/72)tan(5π/72)

※A17＝1/33 -1/39 +1/105 -1/111 +1/177 -1/183 + ・・＝(π/72)tan(3π/72) ⇒無視

　A18＝1/35 -1/37 +1/107 -1/109 +1/179 -1/181 + ・・＝(π/72)tan(π/72)

　　A1 +A3 +A4 +A6 -A7 -A9 -A10 -A12 +A13 +A15 +A16 +A18＝LE(1)＝π/√6となります。上記全式に対し数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

　上記A1〜A12はL(1)１８分割の分身たちです。L(1)１８分割はまだ示していませんでしたが、上記の通りです。美しい秩序から成り立っています。

　A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10 +A11 -A12 +A13 -A14 +A15 -A16 +A17 -A18＝L(1)＝π/4となります。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

　xに値35/36を代入すると、A1が得られる。

　xに値33/36を代入すると、A2が得られる。⇒無視　33/36＝11/12でありL(1)６分割のA1と同じ

　xに値31/36を代入すると、A3が得られる。

　xに値29/36を代入すると、A4が得られる。

　xに値27/36を代入すると、A5が得られる。⇒無視　27/36＝9/12(＝3/4)でありL(1)６分割のA2と同じ

　xに値25/36を代入すると、A6が得られる。

　xに値23/36を代入すると、A7が得られる。

　xに値21/36を代入すると、A8が得られる。 ⇒無視　21/36＝7/12でありL(1)６分割のA3と同じ

　xに値19/36を代入すると、A9が得られる。

　xに値17/36を代入すると、A10が得られる。

　xに値15/36を代入すると、A11が得られる。 ⇒無視　15/36＝5/12でありL(1)６分割のA4と同じ

　xに値13/36を代入すると、A12が得られる。

　xに値11/36を代入すると、A13が得られる。

　xに値 9/36を代入すると、A14が得られる。 ⇒無視　9/36＝3/12(＝1/4)でありL(1)６分割のA5と同じ

　xに値 7/36を代入すると、A15が得られる。

　xに値 5/36を代入すると、A16が得られる。

　xに値 3/36を代入すると、A17が得られる。 ⇒無視　3/36＝1/12でありL(1)６分割のA6と同じ

　xに値 1/36を代入すると、A18が得られる。

　なお、右に記したL(1)６分割は（その２１）で示したのでそれを参照ください。http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12189_n8.htm

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　このようにしてLE(1)の１２分割が求まりました。上で言及したようにLE(1)の分身たちは、L(1)１８分割の分身たちの内の１２個と同じです。

　つまりLE(1)は、L(1)のパーツA1〜A18のうちのA1,A3,A4,A6,A7,A9,A10,A12,A13,A15,A16,A18から作られている。まとめて書くと、次のようになります。

　　L(1)＝A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10 +A11 -A12 +A13 -A14 +A15 -A16 +A17 -A18

　　LE(1)＝A1 +A3 +A4 +A6 -A7 -A9 -A10 -A12 +A13 +A15 +A16 +A18

　単発的に見えるLE(1)＝π/√6 の裏側はこのような構造になっています。面白いことです。

　これでLE(1)は終了とします。4n分割可能であることはわかりましたが（厳密には予想）、LE(1)ははたして4n分割が最良なのでしょうか。

　これまでの結果を更新しておきます。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8/12分割可能である。4n分割可能と考えられる（予想）。4n分割が最良か（問題）。

注記：nは1以上の整数　　以上。（杉岡幹生）

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