続いて虚2次体Q(√-6)ゼータLE(s)の８分割を調べます。

LE(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)

　　Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・

　の一種であり、次のものです。

　　LE(s)＝1 +1/5^s +1/7^s +1/11^s -/13^s -1/17^s -1/19^s　-1/23^s +・・

　LE(s)は虚2次体Q(√-6)のゼータ関数で、導手N=24を持つ。

　ディリクレ指標χ(n)は、n≡1 or 5 or 7 or 11 mod 24のときχ(n)＝1,　n≡13 or 17 or 19 or 23 mod 24のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。

　s＝1のLE(1)は次となる。右辺値は虚2次体の類数公式からわかります。

　LE(1)＝1 +1/5 +1/7 +1/11 -/13 -1/17 -1/19 -1/23 +1/25 +1/29 +1/31 +1/35 -/37 -1/41 -1/43　-1/47 +・・・＝π/√6 ------�@

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　それでは、LE(1)の８分割を示します。※は無視して残りの８つで８分割となります。L(1)１２分割を利用しているため、あえて※を残しました。

■LE(1)８分割

　A1＝ 1 -1/47 +1/49 -1/95 +1/97 -1/143 + ・・ ＝(π/48)tan(23π/48)

※A2＝1/3 -1/45 +1/51 -1/93 +1/99 -1/141 +・・ ＝(π/48)tan(21π/48) ⇒無視

　A3＝1/5 -1/43 +1/53 -1/91 +1/101 -1/139 +・・＝(π/48)tan(19π/48)

　A4＝1/7 -1/41 +1/55 -1/89 +1/103 -1/137 +・・＝(π/48)tan(17π/48)

※A5＝1/9 -1/39 +1/57 -1/87 +1/105 -1/135 +・・＝(π/48)tan(15π/48) ⇒無視

　A6＝1/11 -1/37 +1/59 -1/85 +1/107 -1/133 +・・＝(π/48)tan(13π/48)

　A7＝1/13 -1/35 +1/61 -1/83 +1/109 -1/131 +・・＝(π/48)tan(11π/48)

※A8＝1/15 -1/33 +1/63 -1/81 +1/111 -1/129 +・・＝(π/48)tan(9π/48) ⇒無視

　A9＝1/17 -1/31 +1/65 -1/79 +1/113 -1/127 +・・＝(π/48)tan(7π/48)

　A10＝1/19 -1/29 +1/67 -1/77 +1/115 -1/125 +・・＝(π/48)tan(5π/48)

※A11＝1/21 -1/27 +1/69 -1/75 +1/117 -1/123 +・・＝(π/48)tan(3π/48) ⇒無視

　A12＝1/23 -1/25 +1/71 -1/73 +1/119 -1/121 +・・＝(π/48)tan(π/48)

　　A1 +A3 +A4 +A6 -A7 -A9 -A10 -A12＝LE(1)となります。上記全式に対し数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

　上記A1〜A12はL(1)１２分割の分身たちです。L(1)１２分割は（その２２）で見ましたが、A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10 +A11 -A12＝L(1)です。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

　xに値23/24を代入すると、A1が得られる。

　xに値21/24を代入すると、A2が得られる。 ⇒無視　21/24＝7/8でありL(1)４分割のA1と同じ。

　xに値19/24を代入すると、A3が得られる。

　xに値17/24を代入すると、A4が得られる。

　xに値15/24を代入すると、A5が得られる。 ⇒無視　15/24＝5/8でありL(1)４分割のA2と同じ。

　xに値13/24を代入すると、A6が得られる。

　xに値11/24を代入すると、A7が得られる。

　xに値 9/24を代入すると、A8が得られる。 ⇒無視　9/24＝3/8でありL(1)４分割のA3と同じ。

　xに値 7/24を代入すると、A9が得られる。

　xに値 5/24を代入すると、A10が得られる。

　xに値 3/24を代入すると、A11が得られる。 ⇒無視　3/24＝1/8でありL(1)４分割のA4と同じ。

　xに値 1/24を代入すると、A12が得られる。

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　このようにしてLE(1)の８分割が求まりました。上で言及したようにLE(1)の分身たちは、L(1)１２分割の分身たちの８つと同じです。

　つまりLE(1)は、L(1)のパーツA1〜A12のうちA1,A3,A4,A6,A7,A9,A10,A12から作られている。まとめて書くと、次のようになります。

　　L(1)＝A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10 +A11 -A12 　

　　LE(1)＝A1 +A3 +A4 +A6 -A7 -A9 -A10 -A12

　さらに�@よりLE(1)＝π/√6 ですから、LE(1)８分割の右辺のtan()に着目すると、次式が成り立ちます。

　　(π/48)｛tan(23π/48) +tan(19π/48) +tan(17π/48) +tan(13π/48) -tan(11π/48) -tan(7π/48) -tan(5π/48) -tan(π/48)｝＝π/√6

左辺の｛ ｝から"-"をくくりだすと、次のようになります。

　　-(π/48)｛-tan(23π/48) -tan(19π/48) -tan(17π/48) -tan(13π/48) +tan(11π/48) +tan(7π/48) +tan(5π/48) +tan(π/48)｝＝π/√6

　tanの()内の分子とtan()の符号(+,-)に着目すると、-23, -19, -17, -13, +11, +7, +5, +1ですが、これは冒頭に示した虚2次体Q（√-6）のディリクレ指標χ(n)に従ったものになっています。

　単発的に見えるLE(1)＝π/√6 の裏側はこのような構造になっています。ゼータ関数は深いですね。

　これまでの結果を更新しておきます。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4/8分割可能である。

注記：nは1以上の整数　　以上。（杉岡幹生）

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