今回から新しく虚2次体Q(√-6)ゼータLE(s)の分割を調べていきます。私の方では１２分割まで計算が終わっているのですが、LE(s)の最終結論から先に述べておきます。

　LE(s)は4n分割可能となります（厳密には予想）。LE(s)では４分割からスタートするため、”4分割×n”で4n分割（４分割、８分割、１２分割・・）が可能となります。今回は４分割を示します。

　さて、LE(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)

　　Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・

　の一種であり、次のものです。

　　LE(s)＝1 +1/5^s +1/7^s +1/11^s -/13^s -1/17^s -1/19^s　-1/23^s +・・

　LE(s)は虚2次体Q(√-6)のゼータ関数で、導手N=24を持つ。

　ディリクレ指標χ(n)は、n≡1 or 5 or 7 or 11 mod 24のときχ(n)＝1,　n≡13 or 17 or 19 or 23 mod 24のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。

　よってs＝1のLE(1)は次となる。右辺値は虚2次体の類数公式からわかります。

　LE(1)＝1 +1/5 +1/7 +1/11 -/13 -1/17 -1/19　-1/23 +1/25 +1/29 +1/31 +1/35 -/37 -1/41 -1/43　-1/47 +・・・＝π/√6 ------�@

　これまでと同様に、明示的に求まる場合のLE(1),LE(3),LE(5)・・のうち、LE(1)を代表選手として考察していきます（それで十分。LE(3)、LE(5)・・も同様の結論になる）。

　なお”LE(s)”という表記は私が便宜的に用いているもので、一般的なものではないので注意してください。

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　それでは、LE(1)の４分割を示します。※は無視して残りの４つで４分割となります。次のようにL(1)６分割を利用しているため、あえて※を残しました。

■LE(1)４分割

　A1＝ 1 -1/23 +1/25 -1/47 +1/49 -1/71 +・・ ＝(π/24)tan(11π/24)

※A2＝1/3 -1/21 +1/27 -1/45 +1/51 -1/69 +・・＝(π/24)tan(9π/24) ⇒無視

　A3＝1/5 -1/19 +1/29 -1/43 +1/53 -1/67 +・・＝(π/24)tan(7π/24)

　A4＝1/7 -1/17 +1/31 -1/41 +1/55 -1/65 +・・ ＝(π/24)tan(5π/24)

※A5＝1/9 -1/15 +1/33 -1/39 +1/57 -1/63 +・・ ＝(π/24)tan(3π/24) ⇒無視

　A6＝1/11 -1/13 +1/35 -1/37 +1/59 -1/61 +・・ ＝(π/24)tan(π/24)

　　A1 +A3 +A4 +A6＝LE(1)となります。上記式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。

　上記A1〜A6はL(1)６分割の分身たちです。L(1)６分割は（その２１）で見ましたが、A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6＝L(1)となります。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。

　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)

　このxに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。

xに11/12を代入すると、A1が得られる。

xに 9/12を代入すると、A2が得られる。 ⇒無視　9/12＝3/4でありL(1)２分割のA1と同じ。

xに 7/12を代入すると、A3が得られる。

xに 5/12を代入すると、A4が得られる。

xに 3/12を代入すると、A5が得られる。 ⇒無視　3/12＝1/4でありL(1)２分割のA2と同じ。

xに 1/12を代入すると、A6が得られる。

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　このようにLE(1)の４分割が求まりました。上で言及したようにLE(1)の分身たちは、L(1)の６分割の分身たちの４つと同じです。

　LE(1)は、L(1)のパーツA1,A2,A3,A4,A5,A6のうちA1,A3,A4,A6から作られています。まとめて書くと、次のようになります。

　　L(1)＝ A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6

　　LE(1)＝A1 +A3 +A4 +A6

　さらに�@よりLE(1)＝π/√6 ですから、LE(1)４分割の右辺のtan()に着目すると、次式が成り立ちます。　

　　(π/24)｛tan(11π/24) +tan(7π/24) +tan(5π/24) +tan(π/24)｝＝π/√6

　面白いですね。これまでの結果を更新しておきます。

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　ζ(s)　リーマンゼータ、導手N＝1　　　　　　 ⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LE(s)　虚2次体Q(√-6)ゼータ、導手N＝24　　 ⇒ 4分割可能である。

注記：nは1以上の整数　　以上。（杉岡幹生）

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