＜ゼータ分割に関する種々の予想　ver 2.5＞

　（その４４）でゼータ分割の予想＆問題を改良しましたが(ver2.0)、その後進展があり、新たな問題も加えたり削除したものもあるためここにバージョンアッ版を提示します。ver2.0⇒ver 2.5として改訂。

　※をつけたものは新たに加えたものです。最後の＜つぶやき、結果＞に解けたものや、独断と偏見の意見を書きました。

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[１]ゼータの分割は、ζ(s)を含むL(χ,s)の１次のゼータのみならず、２次以上のｎ次ゼータでも実現されるのではないか。例えば、２次の保型形式ゼータ（楕円曲線ゼータ）も分割できるのではなかろうか。

[２]　関数等式など

（１）それぞれの分身たちに対し、関数等式は存在するか。

（２）テイラーシステム（12年前開発）を使って、分身たち（分割級数）の特殊値を導出せよ。

（３）分身たち（分割級数）でリーマン予想は成り立つか。

※[３]　代数方程式との関係

　（１）（その５２）等で、L(1)の分身の値（π以外のtan()部分）を解に持つ方程式は、パスカルの三角形(二項係数)を係数にもつ代数方程式とわかった（±符号規則も発見）。

　　　　ここでゼータ分割と代数方程式が結びついた。分身の値の考察から、任意にn分割された分身はすべて「πと有限個の根号√の組み合わせで表現できる」ような気がする。

　　　　そのことをガロア理論（可解群）と関連づけて説明せよ。

　　　　　L(1)４分割の例をあげておく。次のようにL(1)の分身たちは”π×（有限個の根号√を含む式）”で表現できる。　

　　　■L(1)４分割

　　　　A1＝ 1 -1/15 +1/17 -1/31 +1/33 -1/47 +・・ ＝(π/16)tan(7π/16)

　　　　A2＝1/3 -1/13 +1/19 -1/29 +1/35 -1/45 +・・＝(π/16)tan(5π/16)

　　　　A3＝1/5 -1/11 +1/21 -1/27 +1/37 -1/43 +・・＝(π/16)tan(3π/16)

　　　　A4＝1/7 -1/9 +1/23 -1/25 +1/39 -1/41 +・・ ＝(π/16)tan(π/16)

　　　　　ここで、A1 -A2 +A3 -A4＝L(1)＝π/4です。右辺のtan()は以下の通り。

　　　　tan(7π/16)＝1 +√2 +√(4+2√2)、

　　　　tan(5π/16)＝-1 +√2 +√(4-2√2) 、

　　　　tan(3π/16)＝1 -√2 +√(4-2√2)、

　　　　tan(π/16)＝-1 -√2 +√(4+2√2)

　（２）上記をL(3),L(5)・・やζ(s)のケースに拡張せよ。さらにＬ(χ,ｓ)全部に拡張せよ。

[４]　非明示特殊値での分割

　　非明示の特殊値をもつζ(3)、ζ(5)、ζ(7)・・やL(2)、L(4)、L(6)・・・も分割できるのではないか。非明示のＬ(χ,ｓ)はどうか。

[５]岩澤理論、クンマーの理論、イデアル類群との関連

※（１）例えば、ζ(12)の特殊値”691π^2/638512875”について、分子に突然691という素数が出現する理由をクンマーの理論や岩澤理論とは別視点から説明せよ。

　　　ζ(12)分割級数の生成核関数を使えば、691が出現する理由がわかるのではないか。

※（２）類数（イデアル類群の位数）と分割級数（ゼータの分身たち）を結びつけよ。例えば（その５６）で見た「虚2次体Q(√-2)ゼータL2(1)の分身たち」と「虚2次体Q(√-2)の類数h」との次の興味深い関係式をさらに深めよ（一般化せよ）。

　　　■虚2次体Q(√-2)の類数h（h＝1）とL2(1)６分割と８分割との間に成り立つ関係式。

　　　[６分割の場合]

　　　　h＝(1/(6√2))｛tan(11π/24) +tan(9π/24) -tan(7π/24) -tan(5π/24) +tan(3π/24) +tan(π/24)｝

　　　[８分割の場合]

　　　　h＝(1/(8√2))｛tan(15π/32) +tan(13π/32) -tan(11π/32) -tan(9π/32) +tan(7π/32) +tan(5π/32) -tan(3π/32) -tan(π/32)｝

　　　　右辺を計算すると、どちらもh＝1となる。

　　　すなわち、ここでのテーマは、

　　２次体の類数（代数的な量）＝Ｌ(χ,ｓ)ゼータの値（解析的な量）

という関係性を、類数公式や岩澤理論とは違う方向から別種の形で打ち立てよ、ということ。

[６]（その１８）〜（その２０）で提示した次の予想は解けないか？　「分子係数和＝分母係数予想」と名付ける。

　＜分子係数和＝分母係数予想＞

『ζ(2n)、L(2n-1)を分割した結果に関し、分子のsin式におけるsin項の係数の和（定数項も含む）と、分母cosにかかる係数は一致するだろう。nは1以上の整数。』

　例えば、（その２０）で見たZ(10)２分割の分身の一つA1では、次のように成り立つ。（分身A2でも成立⇒(その２０)）

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　Z(10)のA1の値は次の通り。

　A1＝α^10 {62+1072(sβ)^2+1452(sβ)^4+247(sβ)^6+2(sβ)^8}/{2835(cβ)^10}

　分子のsin係数の和＝62+1072+1452+247+2＝2835、 分母のcos係数＝2835

　よって、予想は成り立っている。

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　注記1:α＝π/8, β＝3π/8であり、sinは”s”, cosは”c”と略記している。

　注記2：Z(10)＝1 +1/3^10 +1/5^10 +1/7^10 +1/9^10 +・・＝(1-1/2^10)ζ(10)であり、Z(10)はζ(10)と本質的に同じである。

[７]（その２５）〜（その２６）で提示した「奇数出現位置予想」は解けないか。

　＜奇数出現位置予想＞

『分割されたζ(m)、L(m)の特殊値の分子において、奇数は一度だけ出現する。さらに次の関係を満たすサイン位置pに奇数が出現する。奇数が掛かるサインsinの指数の値をpとすると、

　　　m + p＝2^n

　　ただし、分母と分子は最大限約分されているとする。ここでmは、ζ(m)では2以上の偶数、L(m)では1以上の奇数。nは1以上の整数。』

　例えば、Z(10)２分割の分身A1では、次のように成り立っている。（分身A2でも成立⇒(その２０)）

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　A1＝ α^10 {62+1072(sβ)^2+1452(sβ)^4+247(sβ)^6+2(sβ)^8}/{2835(cβ)^10}

　Z(10)を見ているので、m＝10である。分子には247という奇数が一度だけ出現している。247が掛かるサインsβは(sβ)^6であるからp＝6である。

　　10 + 6＝2^4

　よって、予想は成り立っている。

注記：α＝π/8, β＝3π/8であり、sinは”s”, cosは”c”と略記。

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[８]ゼータの分割は、一意に実現されることを証明せよ。例えば、ゼータを１２分割したとき、「二通りの真の１２分割が実現される」などとというようなことが無いことを示せ。

※[９]　「ゼータは何分割可能か」を分類せよ。現時点まででわかった結果は以下の通り。

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　リーマンゼータζ(s)、 導手N＝1　　　　　　　⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8分割可能である。

　注記：nは1以上の整数

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＜ つぶやき、結果 ＞

[１]　これは壮大なテーマである。２次のゼータでも現代数学ではわからないことだらけ。一般のｎ次ゼータの分割など夢のまた夢。

[２]

（１）テイラーシステムでちょっと計算したところ、分割ゼータ（分割級数）の関数等式は存在するような気がする。

　　　注記：テイラーシステムは、ζ(s)やL(s)の”任意の実数点”の特殊値が簡単に導出できる超強力マシーン。

（２）分割ゼータの関数等式がわかればできるんだろうが、むずかしい。いったん休止。

（３）解決。分割級数（分身）ではリーマン予想は不成立。数値計算でわかった。しかし分身たちとリーマン予想は若干関係がある。分割の手法がリーマン予想の攻略に使えるかも。

[３]　分割が代数方程式という別水脈とつながった。重要な方向なのだが、ガロア理論に疎いので、進行は遅くなる。ゆっくりやりたい。

[４]　非明示L(2)の２分割に成功！！（その４８）で報告。しかし明示的な場合と違って、非明示は計算が非常にたいへん。だからまだこの一つだけ。

[５]

（１）ゼータの分割は、ある意味で岩澤理論とは別方向からゼータ特殊値のふしぎを解明する理論であると思う。

（３）円分体やイデアル類群とゼータの分身たちは関係しているはず。その関係をつかみたい。

[６]と[７]はどっちが難しいか？

　　独断と偏見で[６]の方が難しい。[７]はがんばれば数か月で解けるはず。[６]の＜分子係数和＝分母係数予想＞は、何年もかかるだろう。

[８]　一意に決まっているのだが・・。

[９]ちょっとづつ進展。「2n分割可能」とか「3n分割可能」とかのゼータも出てきた。

　　この分野は巨大すぎて私だけやっていても進みが遅く（悲）・・　　多くの人の参加を期待します。　　以上。（杉岡幹生）

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