今回は、L1(2)の８分割を示します。

　L1(s)は実2次体Q(√2)のゼータ関数で、導手N=8を持つ。

　ディリクレ指標χ(n)は次の通り。n≡1 or 7 mod 8のときχ(n)＝1,　n≡3 or 5 mod 8のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。s＝2のL1(2)は次となります。

　L1(2)＝1 -1/3^2 -1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 -1/11^2 -/13^2 +1/15^2 +1/17^2　-1/19^2 -1/21^2 +1/23^2 +・・＝(√2/16)π^2

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　それでは、L1(2)の８分割を示します。

■L1(2)８分割

　A1 ＝ 1 +1/31^2 +1/33^2 +1/63^2 +1/65^2 +1/95^2 +・・ ＝(π/32)^2 /{cos(15π/32)}^2

　A2＝1/3^2 +1/29^2 +1/35^2 +1/61^2 +1/67^2 +1/93^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(13π/32)}^2

　A3＝1/5^2 +1/27^2 +1/37^2 +1/59^2 +1/69^2 +1/91^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(11π/32)}^2

　A4＝1/7^2 +1/25^2 +1/39^2 +1/57^2 +1/71^2 +1/89^2 +・・ ＝(π/32)^2 /{cos(9π/32)}^2

　A5＝1/9^2 + 1/23^2 +1/41^2 +1/55^2 +1/73^2 +1/87^2 +・・ ＝(π/32)^2 /{cos(7π/32)}^2

　A6＝1/11^2 +1/21^2 +1/43^2 +1/53^2 +1/75^2 +1/85^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(5π/32)}^2

　A7＝1/13^2 +1/19^2 +1/45^2 +1/51^2 +1/77^2 +1/83^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(3π/32)}^2

　A8＝1/15^2 +1/17^2 +1/47^2 +1/49^2 +1/79^2 +1/81^2 +・・ ＝(π/32)^2 /{cos(π/32)}^2

　　A1 -A2 -A3 +A4 +A5 -A6 -A7 ＋A8＝L1(2)＝(√2/16)π^2となります。A1〜A6式に対しExcelマクロで数値検証しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。

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　上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。タンジェントの部分分数展開式は、次の通りです。

　　1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・＝(π/(4x))tan(πx/2)

　これを１回微分して得られる次の�@式を使います。

　　1/(1^2-x^2)^2 +1/(3^2-x^2)^2 +1/(5^2-x^2)^2 +・・＝(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2 + Others(x) ---�@

　ここで右辺のOthers(x)は、Others(x)＝-{π/(8x^3)}tan(πx/2)ですが、無視してよい個所なのでOthers(x)としました。

　�@のxに特定の値を代入することで、次のようにL1(2)の分割級数が求まっていきます。

　�@のxに値15/16を代入すると、A1が得られる。

　�@のxに値13/16を代入すると、A2が得られる。

　�@のxに値11/16を代入すると、A3が得られる。

　�@のxに値 9/16を代入すると、A4が得られる。

　�@のxに値 7/16を代入すると、A5が得られる。

　�@のxに値 5/16を代入すると、A6が得られる。

　�@のxに値 3/16を代入すると、A7が得られる。

　�@のxに値 1/16を代入すると、A8が得られる。

注記：左辺はL1(2)分割級数だけを拾い、右辺はそれに対応する(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2の値だけを拾います（すなわち、左辺ではL1(2)分割級数以外の級数を無視し、右辺ではOthers(x)の値は無視します。それでOK）。

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　L1(2)の８分割が求まりました。

　じつはL1(2)の分身たちは、ζ(2)の８分割の分身たちと全く同じです。 ζ(2)つまりZ(2)の８分割は下記＜付録＞で示したので見てください。L1(2)は、Z(2)と全く同じパーツ（分身）から作られていることがわかります。

　違いは、パーツの組み合わせ方（加減の演算）の違いだけです。次の通り。

　　Z(2) ＝A1 +A2 +A3 +A4 +A5 +A6 +A7 +A8

　　L1(2)＝A1 -A2 -A3 +A4 +A5 -A6 -A7 ＋A8

　このようにL1(2)は、Z(2)と同じ部品からできています。ゼータは分身たちから構成されているのです。

　これまでの結果を更新しておきます。

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　リーマンゼータζ(s)、 導手N＝1　　　　　　　⇒　n分割可能である。

　 L(s)　虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4　　 　⇒　n分割可能である。

　 LA(s)　虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3　　　⇒　1〜10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。

　 LN(s)　実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 LP(s)　虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7　　　⇒　3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。

　 L2(s)　虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。

　 L1(s)　実2次体Q(√2)ゼータ、 導手N＝8　　　⇒　2/4/6/8分割可能である。

　注記：nは1以上の整数　　以上。（杉岡幹生）

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＜付録＞[ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その１３）or（その１５）から抜粋、一部編集]

　　Z(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝(3/4)ζ(2)＝π^2/8

　上記の通り、Z(s)は本質的にリーマンゼータζ(s)と同じです。

　次のZ(2)８分割は、（その１３）ではゼータの香りの漂う公式から、また（その１５）ではタンジェント部分分数展開式を使って導出しています。（この二つの公式は本質的には同じものです）

■Z(2)８分割

　A1 ＝ 1 +1/31^2 +1/33^2 +1/63^2 +1/65^2 +1/95^2 + ・・ ＝(π/32)^2 /{cos(15π/32)}^2

　A2＝1/3^2 +1/29^2 +1/35^2 +1/61^2 +1/67^2 +1/93^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(13π/32)}^2

　A3＝1/5^2 +1/27^2 +1/37^2 +1/59^2 +1/69^2 +1/91^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(11π/32)}^2

　A4＝1/7^2 +1/25^2 +1/39^2 +1/57^2 +1/71^2 +1/89^2 +・・ ＝(π/32)^2 /{cos(9π/32)}^2

　A5＝1/9^2 + 1/23^2 +1/41^2 +1/55^2 +1/73^2 +1/87^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(7π/32)}^2

　A6＝1/11^2 +1/21^2 +1/43^2 +1/53^2 +1/75^2 +1/85^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(5π/32)}^2

　A7＝1/13^2 +1/19^2 +1/45^2 +1/51^2 +1/77^2 +1/83^2 +・・＝(π/32)^2 /{cos(3π/32)}^2

　A8＝1/15^2 +1/17^2 +1/47^2 +1/49^2 +1/79^2 +1/81^2 +・・ ＝(π/32)^2 /{cos(π/32)}^2

　　　A1 +A2 +A3 +A4 +A5 +A6 +A7 +A8＝Z(2)＝π^2/8となります。

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