無理数を有理数で近似するには，連分数展開

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

の近似分数を用いるべきであるということはよく知られています．ここでは，連分数展開と本質的には同等の√２に収束する数列を考えることにします．まず

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

　　（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√２

ですから，√２に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２

より

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1）＝２ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1</P>

　α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

　　ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると

　　ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝

　ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから

　　ａn／ｂn→　√２

となるのを確かめることができます．

　このとき，ａn，ｂnの値は

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　１０

ａn 1　 3 7 17 41 99 239 577 1393 1363

ｂn 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378

であり，その近似分数は1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,･･･というわけですが，たとえば，すべての有理数

　　ｐ／ｑ　　（ｐ≦４１，ｑ≦２９）

の中で41/29=1.41379･･･が√２の最もよい近似値であるのです．

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