φ^12〜１４４√５

と近似したが，φ^nについては近似する必要はない．

　　φ^12＝１４４φ＋８９

　ところで，ピアノやオルガンのような鍵盤楽器では１オクターブの間を１２の音に分けていますが，転調のためには平均律，すなわち，１オクターブの音程を対数目盛を用いて１２等分しています．

　　ｒ＝２^1/12=1.059463094

としてf(x)＝１，ｒ，ｒ^2，・・・，ｒ^11，２＝２^xですが，この指数関数を平均律関数と呼ぶことにします．

　ｒは無理数ですから，ピタゴラス音階のように整数比で表すことはできないのですが，ビンセンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は

　　１８／１７＝１．０５８８２・・・

で近似しました．

　また，メルセンヌは

　　（２／（３−√３））^1/8＝１．０５９７３・・・

で近似しました．この式は平方根だけを含む式なので幾何学的に作図できる方法になっています．

　しかし，現実に楽器の設計に応用するのは難しく，カリレイの近似値より正確で，メルセンヌのものより使いやすいものが必要になりました．１７４３年，職人のシュトレーレは数学的訓練を積んでいませんでしたが，平均律関数の単純で実用的な近似式

　（２４＋１０ｘ）／（２４−７ｘ）

を与えました．

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【１】√２のディオファントス近似</P>

　ここでは，平均律関数を分数関数

　　Ｌ(x)＝（αｘ＋β）／（γｘ＋δ）　　　x=1,1/12,･･･,11/12,2

で近似することを考えます．

　f(0)=1,f(1/2)=√2,f(1)=2ですからL(0)=1,L(1/2)=√2,L(1)=2を満たすようにα，β，γ，δを定めると

　　Ｌ(x)＝（２ｘ＋√２（１−ｘ））／（ｘ＋√２（１−ｘ））

が補間関数となります．

　ここで√２が出てきましたが，たとえば，これを41/29で置き換えてみると

　（４１＋１７ｘ）／（４１−１２ｘ）

がよい分数関数近似式になっていることがわかります．

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