■メルテンスの定理(その2)
φ(m)は,mと互いに素であり,mより小さい整数r,1≦r<mの個数として定義される.すなわち,φ(m)は1からm−1までの整数のうち,mと公約数をもたない数はいくつあるかを数えた数を表す.
m=9→1,2,4,5,7,8→φ(9)=6
m=10→1,3,7,9→φ(10)=4
φ(1)=1,φ(2)=1,φ(3)=2,φ(4)=2
φ(5)=4,φ(6)=2,φ(7)=6,φ(8)=4
φ(9)=6,φ(10)=4,
φ(p)=p−1
φ(p^a)=(p−1)p^(a-1)=p^a(1−1/p)
φ(m)=mΠ(1−1/pi)
φ(10)=10(1−1/2)(1−1/5)=4
φ(26)=26(1−1/2)(1−1/13)=12
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φ(m)はかなり変動する関数である.たとえば,
φ(29)=28,φ(30)=8,φ(31)=30,φ(32)=16
しかし,φ(m)の漸近的性質を考えると,オイラーのトーション関数は,無作為に選んだ2数が公約数をもたない確率などに関係していて
φ(m)/mの平均値は6/π^2〜0.61に近づく.
これは無作為にとった整数が,2乗の因数をもたない確率でもある.
φ(m)の平均/m〜(Σ1/m^2)^-1〜6/π^2
1/n・Σφ(k)/k〜6/π^2
1/n^2・Σφ(k)〜3/π^2
同じことではあるが,Φ(n)=Σφ(k)とおくと
3/π^2=limΦ(n)/n^2
また,コラム「学会にて(京大数理解析研,その1)」では
位数nのファレイ数列の長さは,オイラー関数φ(n)を用いて,
1+φ(1)+φ(2)+・・・+φ(n−1)+φ(n)
〜3(n/π)^2〜0.30396n^2
になる.この近似はnが大きくなるにつれてよくなっていく.
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