■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その５９，杉岡幹生）
今回から実2次体Q(√2)ゼータL1(s)の分割を調べていきます。L1(s)は”2n分割可能”となるのですが、今回は２分割、４分割を示します。
L1(s)はディリクレのＬ関数L(χ,s)
Ｌ(χ,ｓ)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +χ(7)/7^s +・・
の一種であり、次のものです。
L1(s)＝1 -1/3^s -1/5^s +1/7^s +1/9^s -1/11^s -/13^s +1/15^s +1/17^s -1/19^s -1/21^s +1/23^s +・・
L1(s)は実2次体Q(√2)のゼータ関数で、導手N=8を持つ。
ディリクレ指標χ(n)は次の通り。n≡1 or 7 mod 8のときχ(n)＝1, n≡3 or 5 mod 8のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。
よってs＝2のL1(2)は次となる。
L1(2)＝1 -1/3^2 -1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 -1/11^2 -/13^2 +1/15^2 +1/17^2 -1/19^2 -1/21^2 +1/23^2 +・・＝(√2/16)π^2
L1(2)が(√2/16)π^2となることは、下記の２分割分身での計算”A1-A2”から簡単にわかります！（４分割からも出ます⇒B1 -B2 -B3 +B4）
以下では、明示的に求まる特殊値L1(2),L1(4),L1(6)・・のうち、L1(2)を代表選手として考察していきます（それで十分。L1(4)、L1(6)・・も本質的に同じ）。
なお”L1(s)”という表記は私が便宜的に用いているもので、一般的なものではないので注意してください。
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それでは、L1(2)の２分割、４分割を示します。
■L1(2)２分割
A1 ＝ 1 + 1/7^2 +1/9^2 +1/15^2 + 1/17^2 +1/23^2 + ・・ ＝(π/8)^2 /{cos(3π/8)}^2
A2＝1/3^2 +1/5^2 +1/11^2 +1/13^2 + 1/19^2 +1/21^2 +・・＝(π/8)^2 /{cos(π/8)}^2
1/{cos()}^2の部分を計算した結果は、以下の通り。
1/{cos(3π/8)}^2＝ 4 +2√2 、1/{cos(π/8)}^2 ＝ 4 -2√2
A1 -A2＝L1(2)＝(√2/16)π^2 であることが容易にわかる。A1,A2式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
■L1(2)４分割
B1＝ 1 +1/15^2 +1/17^2 +1/31^2 +1/33^2 +1/47^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(7π/16)}^2
B2＝1/3^2 +1/13^2 +1/19^2 +1/29^2 +1/35^2 +1/45^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(5π/16)}^2
B3＝1/5^2 +1/11^2 +1/21^2 +1/27^2 +1/37^2 +1/43^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(3π/16)}^2
B4＝1/7^2 +1/9^2 +1/23^2 +1/25^2 +1/39^2 +1/41^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(π/16)}^2
1/{cos()}^2の部分を計算した結果は、以下の通り。
1/{cos(7π/16)}^2＝ 8 +4√2 + 4√(2+√2) +2√(4+2√2)
1/{cos(5π/16)}^2＝ 8 -4√2 + 4√(2-√2) -2√(4-2√2)
1/{cos(3π/16)}^2＝ 8 -4√2 - 4√(2-√2) +2√(4-2√2)
1/{cos(π/16)}^2 ＝ 8 +4√2 - 4√(2+√2) -2√(4+2√2)
B1 -B2 -B3 +B4 ＝L1(2)＝(√2/16)π^2であることがわかる。B1～B4式に対しExcelマクロで数値検証を実行しましたが、全て左辺の級数は右辺値に収束しました。
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上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。
タンジェントの部分分数展開式をＧ[1](x)と表現すると、次のようになります。
Ｇ[1](x)＝1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・＝(π/(4x))tan(πx/2)
これを１回微分して得られる次の②の生成核Ｇ[2](x)を得ます。
Ｇ[2](x)＝1/(1^2-x^2)^2 +1/(3^2-x^2)^2 +1/(5^2-x^2)^2 +・・＝(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2 + Others(x) ---②
ここで右辺のOthers(x)は、Others(x)＝-{π/(8x^3)}tan(πx/2)ですが、今回は無視してよい個所なので、Others(x)としました。
②のxに特定の値を代入することで、L1(2)の分割級数を求めることができます。
注記：左辺はL1(2)分割級数だけを拾い、右辺はそれに対応する(π/(4x))^2/{cos(πx/2)}^2の値だけを拾います。（左辺ではL1(2)分割級数以外の級数を無視し、右辺ではOthers(x)の値は無視する。それでOK）
以下の通りです。
②のxに値3/4を代入すると、A1が得られる。
②のxに値1/4を代入すると、A2が得られる。
②のxに値7/8を代入すると、B1が得られる。
②のxに値5/8を代入すると、B2が得られる。
②のxに値3/8を代入すると、B3が得られる。
②のxに値1/8を代入すると、B4が得られる。
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このようにしてL1(2)の２分割、４分割が求まりました。
導出過程を見ると、１分割も②式から簡単に出るのではないか？と一見思います。１分割は1/2を代入すればよいとすぐに気づく。
1/2を代入すると、左辺は”4(1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・) +「他」”となり、右辺は”(π/2)^2 /{cos(π/4)}^2 +「他」”となる。
「他」は無視し左辺と右辺を比較して、 Z(2)＝(3/4)ζ(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +・・＝π^2/8を得る。これはL1(2)ではありません。Z(2)すなわちζ(2)が出てしまいました。
このようにL1(2)１分割を部分分数展開式から出そうとするとζ(2)が出てしまうので、L1(2)では２分割スタートとなります。２分割スタートなので２分割×ｎの「２ｎ分割可能」となります。すなわち「L1(2)は、２分割、４分割、６分割、８分割・・ができる」となる。
今回の結果を見て「どこかで見た風景だ・・」と思った人がおられるかもしれません。じつはL1(2)の分身たちは、ζ(2)の２分割、４分割の分身たちと全く同じなのです！
ζ(2)の２分割、４分割は（その１３）または（その１５）で示しました。下記＜付録＞でそれを抜粋したので見てください。L1(2)は、ζ(2)と全く同じパーツ（分身）から作られていることがわかります。
違いは、パーツの組み合わせ方（加減の演算）の違いだけです。次の通り。
Z(2) ＝A1 +A2
L1(2)＝A1 -A2
Z(2) ＝B1 +B2 +B3 +B4
L1(2)＝B1 -B2 -B3 +B4
このようになっているのです！この仕組みには本当に驚きます。このことはL1(2)６分割、８分割、１０分割・・でも成り立ちます。そしてこれは少し前に見たL(1)と虚2次体Q(√-2)のL2(1)との関係の類似でもあります。
最後に。級数”1 -1/3^2 -1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 -1/11^2 -/13^2 +1/15^2 +・・”がいくらになるか？は、本来難しい問題です。それが直接アタックではなく、パーツ（分身）から簡単に出るというのも興味深いことです。まず先にパーツを求めることで、ζ(s)のみならず、周辺の実2次体ゼータの値まで簡単に出る（たんなる四則演算！）のですから面白いというほかありません。
なお、”1 -1/3^2 -1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 -1/11^2 -/13^2 +1/15^2 +・・＝(√2/16)π^2”となることはオイラー(1707-1783)が導いています。
すこし前にSugimoto氏から教えられた神戸大・野海先生のオイラーの『無限解析序説』に関する論文に上式が出ています。ゼータの分割という思想はありませんが、オイラーは部分分数展開式を用いて様々な級数の値を求めています。次のp.19に出ています。[オイラーの数学から －『無限解析序説』への招待]
http://www.sci.kobe-u.ac.jp/old/seminar/pdf/noumi2007.pdf
これまでの結果の表を更新しておきます。
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リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能である。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能である。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
L2(s) 虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
L1(s) 実2次体Q(√2)ゼータ、導手N＝8 ⇒ 2/4分割可能である。
注記：nは1以上の整数 以上。（杉岡幹生）
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＜付録＞
（「ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造」のその１５」より抜粋,一部編集）http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu2/12091_dx.htm
Z(2)＝(3/4)ζ(2)＝1 +1/3^2 +1/5^2 +1/7^2 +1/9^2 +1/11^2 +・・＝π^2/8
上記の通り、Z(s)は本質的にリーマンゼータζ(s)と同じものです。
■Z(2)２分割
A1＝ 1 + 1/7^2 +1/9^2 +1/15^2 + 1/17^2 +1/23^2 +・・ ＝(π/8)^2 /{cos(3π/8)}^2
A2＝1/3^2 +1/5^2 +1/11^2 +1/13^2 + 1/19^2 +1/21^2 +・・＝(π/8)^2 /{cos(π/8)}^2
A1 +A2＝Z(2)＝π^2/8 であることがわかります。
1/{cos()}^2の部分を計算した結果は、以下の通り。
1/{cos(3π/8)}^2＝ 4 +2√2 、1/{cos(π/8)}^2 ＝ 4 -2√2
■Z(2)４分割
B1＝ 1 +1/15^2 +1/17^2 +1/31^2 +1/33^2 +1/47^2 +・・ ＝(π/16)^2 /{cos(7π/16)}^2
B2＝1/3^2 +1/13^2 +1/19^2 +1/29^2 +1/35^2 +1/45^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(5π/16)}^2
B3＝1/5^2 +1/11^2 +1/21^2 +1/27^2 +1/37^2 +1/43^2 +・・＝(π/16)^2 /{cos(3π/16)}^2
B4＝1/7^2 +1/9^2 +1/23^2 +1/25^2 +1/39^2 +1/41^2 +・・ ＝(π/16)^2 /{cos(π/16)}^2
B1 +B2 +B3 +B4 ＝Z(2)＝π^2/8 であることがわかります。
1/{cos()}^2の部分を計算した結果は、以下の通り。
1/{cos(7π/16)}^2＝ 8 +4√2 + 4√(2+√2) +2√(4+2√2)
1/{cos(5π/16)}^2＝ 8 -4√2 + 4√(2-√2) -2√(4-2√2)
1/{cos(3π/16)}^2＝ 8 -4√2 - 4√(2-√2) +2√(4-2√2)
1/{cos(π/16)}^2 ＝ 8 +4√2 - 4√(2+√2) -2√(4+2√2)
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