フィボナッチ数列

　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・

を０からあるいは負の数から出発する場合に拡張してみます．

　　・・・，５．−３，２，−１，１，０，１，１，２，３，５，８，１３，・・・

　　φ^2＝φ＋１

　　φ^3＝φ^2φ＝φ^2＋φ＝２φ＋１

　　φ^4＝φ^3φ＝２φ^2＋φ＝３φ＋２

　　φ^5＝φ^4φ＝３φ^2＋２φ＝５φ＋３

　　φ^6＝８φ＋５

　　φ^7＝１３φ＋８

　　φ^8＝２１φ＋１３

　　φ^9＝３４φ＋２１

　　φ^10＝５５φ＋３４

　　φ^11＝８９φ＋５５

　　φ^12＝１４４φ＋８９

一般に

　φ^n＝Ｆ（ｎ）φ＋Ｆ（ｎ−１），ｎ≧２

　　１／φ＝φ−１

　　１／φ^2＝１−１／φ＝−φ＋２

　　１／φ^3＝−１＋２／φ＝２φ−３

　　１／φ^4＝２−３／φ＝−３φ＋５

　　１／φ^5＝−３＋５／φ＝５φ−８

　　１／φ^6＝−８φ＋１３

　　１／φ^7＝１３φ−２１

　　１／φ^8＝−２１φ＋３４

　　１／φ^9＝３４φ−５５

　　１／φ^10＝−５５φ＋８９

　　１／φ^11＝８９φ−１４４

　　１／φ^12＝−１４４φ＋２３３

一般に

　　１／φ^n＝（−１）^n+1Ｆ（ｎ）φ＋（−１）^nＦ（ｎ＋１），ｎ≧

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　ここで，

　　ｎが偶数のとき，φ^n＋１／φ^n

　　ｎが奇数のとき，φ^n−１／φ^n

はすべて整数となっているのですが，それはリュカ数

Ｌn ＝｛（１＋√５）／２｝^n＋｛（１−√５）／２｝^n

　　＝｛φ^n＋（−１／φ）^n｝

であって，整数となることが保証されています．

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