■ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造（その５８，杉岡幹生）
（その５７）の続きで、Q(√-2)ゼータL2(1)の１２割を調べます。
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L2(1)＝1 +1/3 -1/5 -1/7 +1/9 +1/11 -/13 -1/15 +1/17 +1/19 -1/21 -1/23 +・・ ------①
L2(s)はＬ(χ,ｓ)の一種の虚2次体Q(√-2)のゼータ関数で、導手N=8を持つ。次のＬ(χ,ｓ)のs＝1の場合がL2(1)です。
Ｌ(χ,s)＝χ(1)/1^s +χ(2)/2^s +χ(3)/3^s +χ(4)/4^s +χ(5)/5^s +χ(6)/6^s +・・・におけるL2(s)のディリクレ指標χ(n)は次の通り。
n≡1 or 3 mod 8のときχ(n)＝1, n≡5 or 7 mod 8のときχ(n)＝-1, その他のときχ(n)＝0となる。
L2(1)の値は（その５５）で示した通り、π√2/4です。
L2(1)＝1 +1/3 -1/5 -1/7 +1/9 +1/11 -/13 -1/15 +1/17 +1/19 -1/21 -1/23 +・・＝π√2/4 -----②
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L2(1)の１２分割を示します。以下の通りです。
■L2(1)１２分割
A1 ＝ 1 -1/47 +1/49 -1/95 +1/97 -1/143 +・・ ＝(π/48)tan(23π/48)
A2 ＝1/3 -1/45 +1/51 -1/93 +1/99 -1/141 +・・ ＝(π/48)tan(21π/48)
A3 ＝1/5 -1/43 +1/53 -1/91 +1/101 -1/139 +・・ ＝(π/48)tan(19π/48)
A4 ＝1/7 -1/41 +1/55 -1/89 +1/103 -1/137 +・・ ＝(π/48)tan(17π/48)
A5 ＝1/9 -1/39 +1/57 -1/87 +1/105 -1/135 +・・ ＝(π/48)tan(15π/48)
A6 ＝1/11 -1/37 +1/59 -1/85 +1/107 -1/133 +・・ ＝(π/48)tan(13π/48)
A7 ＝1/13 -1/35 +1/61 -1/83 +1/109 -1/131 +・・ ＝(π/48)tan(11π/48)
A8 ＝1/15 -1/33 +1/63 -1/81 +1/111 -1/129 +・・ ＝(π/48)tan(9π/48)
A9 ＝1/17 -1/31 +1/65 -1/79 +1/113 -1/127 +・・ ＝(π/48)tan(7π/48)
A10＝1/19 -1/29 +1/67 -1/77 +1/115 -1/125 +・・ ＝(π/48)tan(5π/48)
A11＝1/21 -1/27 +1/69 -1/75 +1/117 -1/123 +・・ ＝(π/48)tan(3π/48)
A12＝1/23 -1/25 +1/71 -1/73 +1/119 -1/121 +・・ ＝(π/48)tan(π/48)
A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8 +A9 +A10 -A11 -A12＝L2(1) であることを確認ください。これら１２式に対しExcelマクロで数値検証も行ないましたが、全て左辺の級数は右辺値に一致しました。
また右辺値の和”A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8 +A9 +A10 -A11 -A12”は、②のπ√2/4 に一致することも確認しました。
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上の分割級数の導出過程を簡単に述べます。次のタンジェントの部分分数展開式を使います。
1/(1^2-x^2) +1/(3^2-x^2) +1/(5^2-x^2) +・・ ＝(π/(4x))tan(πx/2)
xに次の値を代入することで、分割された級数とその値が求まります。
xに23/24を代入すると、A1が得られる。
xに21/24を代入すると、A2が得られる。
xに19/24を代入すると、A3が得られる。
xに17/24を代入すると、A4が得られる。
xに15/24を代入すると、A5が得られる。
xに13/24を代入すると、A6が得られる。
xに11/24を代入すると、A7が得られる。
xに 9/24を代入すると、A8が得られる。
xに 7/24を代入すると、A9が得られる。
xに 5/24を代入すると、A10が得られる。
xに 3/24を代入すると、A11が得られる。
xに 1/24を代入すると、A12が得られる。
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このようにL2(1)の１２分割が求まりました。
ここでも「L2(1)は、L(1)と同じパーツから作られている」という事実を確認しておきましょう。
L2(1)の上記１２式(A1～A12)はじつは（その２２）のL(1)１２分割の式と同じです。（その２２）を下記＜付録＞に抜粋したので見てくだい。それらはL2(1)１２分割の式と同であることがわかります。
L(1)とL2(1)は、基本パーツ（A1, A2, ・・,A12）によって次のように構成されています。
L(1) ＝A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10 +A11 -A12
L2(1)＝A1 +A2 -A3 -A4 +A5 +A6 -A7 -A8 +A9 +A10 -A11 -A12
このように全く同じ部品から構成されています。違いは加減算の仕方だけです。面白いですね。
これまで見てきた結果の表を下記のように更新しました。L2(s)で「2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）」としています。
虚2次体Q(√－2)ゼータのL2(1)は、これで終了とします。次は、実2次体Q(√√2)ゼータを調べていくことにします。
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リーマンゼータζ(s)、導手N＝1 ⇒ n分割可能である。
L(s) 虚2次体Q(√-1)ゼータ、導手N＝4 ⇒ n分割可能である。
LA(s) 虚2次体Q(√-3)ゼータ、導手N＝3 ⇒ 1～10分割可能である。n分割可能と考えられる（予想）。
LN(s) 実2次体Q(√5)ゼータ、 導手N＝5 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割が可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
LP(s) 虚2次体Q(√-7)ゼータ、導手N＝7 ⇒ 3/6/9/12分割可能である。3n分割可能と考えられる（予想）。3n分割が最良か（問題）。
L2(s) 虚2次体Q(√-2)ゼータ、導手N＝8 ⇒ 2/4/6/8/10/12分割可能である。2n分割可能と考えられる（予想）。2n分割が最良か（問題）。
注記：nは1以上の整数 以上。（杉岡幹生）
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＜付録＞
（ゼータの香りの漂う公式の背後にある構造ゼータの香りの漂う公式の「その２２」より抜粋）
L(1)＝1 -1/3 +1/5 -1/7 +1/9 -1/11 +1/13 -15 + ・・＝π/4
■L(1)１２分割
A1＝ 1 -1/47 +1/49 -1/95 +1/97 -1/143 +・・ ＝(π/48)tan(23π/48)
A2＝1/3 -1/45 +1/51 -1/93 +1/99 -1/141 +・・＝(π/48)tan(21π/48)
A3＝1/5 -1/43 +1/53 -1/91 +1/101 -1/139 +・・＝(π/48)tan(19π/48)
A4＝1/7 -1/41 +1/55 -1/89 +1/103 -1/137 +・・ ＝(π/48)tan(17π/48)
A5＝1/9 -1/39 +1/57 -1/87 +1/105 -1/135 +・・ ＝(π/48)tan(15π/48)
A6＝1/11 -1/37 +1/59 -1/85 +1/107 -1/133 +・・ ＝(π/48)tan(13π/48)
A7＝1/13 -1/35 +1/61 -1/83 +1/109 -1/131 +・・ ＝(π/48)tan(11π/48)
A8＝1/15 -1/33 +1/63 -1/81 +1/111 -1/129 +・・ ＝(π/48)tan(9π/48)
A9＝1/17 -1/31 +1/65 -1/79 +1/113 -1/127 +・・ ＝(π/48)tan(7π/48)
A10＝1/19 -1/29 +1/67 -1/77 +1/115 -1/125 +・・ ＝(π/48)tan(5π/48)
A11＝1/21 -1/27 +1/69 -1/75 +1/117 -1/123 +・・ ＝(π/48)tan(3π/48)
A12＝1/23 -1/25 +1/71 -1/73 +1/119 -1/121 +・・ ＝(π/48)tan(π/48)
A1 -A2 +A3 -A4 +A5 -A6 +A7 -A8 +A9 -A10 +A11 -A12＝L(1) であることを確認ください。
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